Une procédure algorithmique qui transforme un ensemble fini linéairement indépendant dans un espace à produit scalaire en un ensemble orthonormal engendrant le même sous-espace par projections orthogonales successives et normalisation.

Principe

À chaque étape, soustraire la projection du vecteur courant sur l'enveloppe des vecteurs orthonormés précédemment construits pour imposer l'orthogonalité, puis normaliser pour obtenir une norme unité.

Démonstration

À partir de deux vecteurs indépendants dans R^2, soustraire la projection du deuxième sur le premier et normaliser donne une paire orthonormée alignée avec l'enveloppe d'origine.

Mauvaise application

Appliquer l'algorithme classique en arithmétique à précision finie sans ré-orthogonalisation sur des entrées presque linéairement dépendantes conduit à une perte d'orthogonalité et à une instabilité numérique.

Conséquence

Produit une base orthonormée du sous-espace, permettant le développement stable en coordonnées, le calcul de projections et la construction de factorisations orthogonales de matrices lorsqu'il est mis en œuvre avec précautions numériques.

Inversion

La défaillance de l'orthogonalité signale une dépendance linéaire ou une annulation catastrophique ; passer à des factorisations révélant le rang ou à des variantes stabilisées récupère des bases orthonormées robustes.

Limite

Nécessite un produit scalaire (ou pré-produit scalaire) et des vecteurs initiaux non nuls ; les ensembles infinis ou continus demandent des généralisations en analyse fonctionnelle et ne sont pas couverts par l'algorithme fini.

Tension sémantique

Méthode connexe : les approches par factorisation matricielle produisent des bases orthogonales équivalentes via des stratégies numériques différentes ; la formule de Gram–Schmidt est constructive mais peut être moins stable que d'autres factorisations sauf si elle est modifiée.

Synthèse

Algorithme d'orthogonalisation constructif qui élimine itérativement les composantes selon les directions déjà construites et normalise, fournissant une base orthonormée du sous-espace fini d'origine lorsqu'il est correctement stabilisé.