La régularité elliptique regroupe les résultats selon lesquels les solutions faibles d'équations aux dérivées partielles elliptiques sont en réalité plus régulières que prévu : si L est un opérateur différentiel elliptique à coefficients suffisamment réguliers et L u = f avec f lisse (ou dans un espace de Sobolev approprié), alors u hérite de dérivées supplémentaires selon la régularité des coefficients et du bord.

Principe

L'ellipticité du symbole principal entraîne des estimations a priori qui contrôlent des dérivées d'ordre supérieur de la solution par des normes d'ordre inférieur des données ; des outils microlocaux et analytiques transforment le contrôle du second membre en accroissement de régularité de la solution (intérieur et, avec compatibilité aux limites, jusqu'au bord).

Démonstration

Pour un opérateur uniformément elliptique du second ordre en forme divergence sur un domaine lisse, la solution faible donnée par Lax–Milgram dans H¹ appartient en fait localement à H² quand le second membre est en L² ; si les coefficients et f sont C^∞ alors u est C^∞ à l'intérieur du domaine (régularité intérieure).

Mauvaise application

Attendre le même lissage pour des opérateurs non elliptique (hyperbolique ou elliptique dégénéré) ou pour des opérateurs elliptiques à coefficients rugueux sans adapter les espaces fonctionnels ; négliger la régularité du bord et les conditions de compatibilité peut invalider les conclusions jusqu'au bord.

Conséquence

Permet l'itération (bootstrapping) de la régularité : une fois un gain de dérivées acquis, des applications répétées procurent une régularité plus élevée ; fonde le passage des solutions faibles à des solutions classiques et justifie les estimations elliptiques utilisées en EDP non linéaires et en géométrie.

Inversion

Les équations hyperboliques propagent les singularités le long des caractéristiques plutôt que de lisser ; inverser la régularité elliptique les oppose en termes de lissage contre transport des irrégularités au lieu de leur atténuation.

Limite

La régularité elliptique intérieure requiert typiquement seulement l'ellipticité et la régularité des coefficients ; la régularité jusqu'au bord exige des conditions aux limites compatibles, la régularité du bord et le contrôle des données frontière — sans cela, les gains intérieurs peuvent ne pas s'étendre au bord.

Tension sémantique

Régularité elliptique vs hypoellipticité : la régularité elliptique est une forme forte d'hypoellipticité pour les opérateurs elliptiques, mais les opérateurs hypoelliptiques peuvent induire un lissage sous des conditions de symbole plus faibles ; des distinctions apparaissent en microlocalité et en hypothèses requises.

Synthèse

La régularité elliptique affirme que l'ellipticité transforme le contrôle des données en amélioration de la régularité des solutions : les solutions faibles des EDP elliptiques sont plus lisses à l'intérieur (et, sous compatibilité, jusqu'au bord), permettant de passer des solutions distributionnelles aux solutions classiques sous hypothèses appropriées.