Sur un espace de Hilbert, un opérateur de trace (de la classe de trace) est un opérateur compact dont les valeurs singulières sont sommables ; ces opérateurs admettent une trace bien définie égale à la somme des éléments diagonaux dans toute base orthonormée, et parfois un déterminant (déterminant de Fredholm) défini.

Principe

Les opérateurs de trace forment un idéal des opérateurs compacts caractérisé par la sommabilité des valeurs singulières ; cette sommabilité rend la trace indépendante de la base et continue pour la norme de trace.

Démonstration

Un opérateur de rang fini est de trace car seules un nombre fini de valeurs singulières sont non nulles ; pour un opérateur intégral à noyau suffisamment régulier sur un domaine compact, l'opérateur peut être de trace et sa trace égale l'intégrale du noyau sur la diagonale lorsque cette expression est légitime.

Mauvaise application

Appliquer la formule de la trace de manière indiscriminée à des opérateurs qui ne sont pas de trace conduit à des sommes divergentes ou dépendantes de la base ; traiter un opérateur de Hilbert–Schmidt comme de trace sans vérifier la sommabilité est incorrect.

Conséquence

La propriété de classe de trace garantit une trace finie et indépendante de la base et permet des propriétés cycliques pour les traces de produits d'opérateurs ; elle autorise la théorie des perturbations compactes avec des déplacements spectraux contrôlés.

Inversion

Un opérateur compact qui n'est pas de trace (par exemple avec valeurs singulières non sommables) n'a pas de trace finie et peut présenter une décroissance spectrale plus lente ; à l'inverse, les opérateurs de rang fini satisfont trivialement au critère de trace.

Limite

Le concept est défini pour des opérateurs sur espaces de Hilbert et repose sur la décomposition en valeurs singulières ; sur des espaces de Banach généraux il n'existe pas de notion canonique unique de classe de trace sans structure supplémentaire.

Tension sémantique

Classe de trace versus Hilbert–Schmidt : les deux sont des idéaux parmi les opérateurs compacts, mais Hilbert–Schmidt exige la carré‑sommabilité des valeurs singulières tandis que la classe de trace exige la sommabilité — cette dernière est plus forte et assure l'existence d'une trace.

Synthèse

Un opérateur de trace est un opérateur compact dont les valeurs singulières sont sommables, fournissant une trace canonique indépendante de la base et formant un idéal bilatère dans l'algèbre des opérateurs bornés.