La décomposition de Helmholtz exprime un champ de vecteurs suffisamment régulier sur un domaine adapté (p.ex. R^n avec décroissance à l'infini ou un domaine borné avec conditions au bord) comme somme d'un champ irrotationnel (gradient) et d'un champ solénoïdal (divergence nulle), éventuellement augmenté d'une composante harmonique dépendant de la topologie et des conditions au bord.

Principe

Il s'agit d'une projection orthogonale dans L^2 sur la clôture des champs de gradient et le noyau de la divergence, découlant de la théorie elliptique (équations de Poisson) et de la théorie de Hodge dans le cadre lisse.

Démonstration

Pour un champ de vecteurs v lisse à support compact sur R^3, on construit un potentiel scalaire φ résolvant Δφ = div v et un potentiel vectoriel A résolvant ΔA = −curl v pour obtenir v = ∇φ + curl A avec div(curl A)=0 et curl(∇φ)=0.

Mauvaise application

Supposer une décomposition globale sans vérifier la régularité du domaine, les conditions au bord ou la topologie (p.ex. sur un domaine multiplement connecté, des champs harmoniques non triviaux peuvent exister), conduisant à des potentiels non uniques ou inexistants.

Conséquence

La décomposition sépare l'écoulement en parties compressibles (potentielles) et incompressibles (solénoïdales), fondamentale en mécanique des fluides, électromagnétisme et pour les solveurs numériques qui traitent explicitement les contraintes de divergence.

Inversion

La décomposition de Hodge généralise Helmholtz aux k-formes sur les variétés riemanniennes, remplaçant gradient/curl/div par la dérivée extérieure, la codifférentielle et les formes harmoniques ; l'inverse est la spécialisation aux champs de vecteurs en domaines euclidiens.

Limite

Nécessite des hypothèses de régularité elliptique : suffisante douceur et décroissance ou conditions aux bords fixées ; dans un domaine borné il faut inclure des termes surfaciques et éventuellement un espace harmonique de dimension finie déterminé par la topologie.

Tension sémantique

Il existe une tension entre la décomposition constructive par Poisson de Helmholtz et les décompositions spectrales basées sur Fourier : les deux scindent les champs mais diffèrent par la localité, la prise en compte des bords et l'interprétation en base.

Synthèse

La décomposition de Helmholtz affirme que, sous régularité et conditions aux bords appropriées, tout champ de vecteurs se sépare orthogonalement en une partie de gradient irrotationnelle et une partie solénoïdale à divergence nulle (plus modes harmoniques dépendant de la topologie), permettant de traiter séparément comportements compressibles et incompressibles.