Un triple (X, Σ, μ) où X est un ensemble, Σ une tribu de sous-ensembles de X, et μ une mesure attribuant un nombre réel étendu non négatif à chaque élément de Σ, vérifiant μ(∅)=0 et l'additivité dénombrable.

Principe

Combiner un ensemble de base, une tribu et une mesure σ-additive organise un cadre dans lequel la taille, la probabilité et l'intégration sont définies de façon cohérente sur des collections éventuellement infinies.

Démonstration

La droite réelle munie de la tribu de Borel et de la mesure de Lebesgue est un espace mesurable : on associe une longueur aux intervalles, et les unions dénombrables d'ensembles mesurables disjoints ont une mesure égale à la somme des mesures.

Mauvaise application

Utiliser une fonction additive finie qui n'est pas σ-additive comme si c'était une mesure conduit à des théorèmes limites incorrects (par ex. échec de la convergence monotone) et à des propriétés d'intégration invalides.

Conséquence

Dans un espace mesurable on peut définir fonctions mesurables, intégrales, propriétés valables presque partout et théorèmes de convergence (monotone, dominée) qui fondent la probabilité et l'analyse, sous réserve de la tribu et de la mesure choisies.

Inversion

Abandonner la σ-additivité donne une mesure finiment additive ou un contenu, utile dans certains contextes mais qui ne permet pas la plupart des théorèmes d'intégration standard ni une théorie Lp satisfaisante.

Limite

Nécessite la spécification de la tribu et de la mesure ; n'impose pas la complétude (les ensembles de mesure nulle peuvent ou non être inclus) sauf si l'espace est complété explicitement ; exclut les seules mesures extérieures sans structure de mesurabilité.

Tension sémantique

Proche de 'espace de probabilité' lorsque μ(X)=1 ; la tension apparaît en traitant des espaces de mesure abstraits comme probabilistes sans normalisation, ou en confondant mesures extérieures, pré-mesures et mesures complètes.

Synthèse

Un espace mesurable est l'environnement structuré (ensemble, tribu, mesure) qui dote les sous-ensembles d'une taille σ-additive, permettant intégration, raisonnement presque partout et théorèmes limites essentiels en analyse et probabilité.