Une technique de résolution de certaines équations aux dérivées partielles (notamment du premier ordre et certaines hyperboliques) consistant à réduire l'EDP à des équations différentielles ordinaires le long de courbes appelées caractéristiques, le long desquelles l'EDP se transforme en EDO pour l'inconnue et ses dérivées.

Principe

Déterminer des courbes du domaine (caractéristiques) le long desquelles les dérivées se combinent de sorte que l'EDP se restreigne à un système d'EDO ; résoudre ces EDO puis reconstituer la solution à partir des données caractéristiques.

Démonstration

Équation de transport u_t + c u_x = 0 : les caractéristiques sont des droites x - ct = constante. Le long de chaque droite u est constante, donc avec u(x,0)=f(x) on obtient u(x,t)=f(x-ct).

Mauvaise application

Appliquer la méthode à des EDP elliptiques ou à des problèmes où les caractéristiques se croisent ou forment des caustiques sans traiter la multivaluation ou les chocs résultants ; ou supposer des solutions lisses globales alors que des non-linéarités provoquent des singularités (p.ex. formation d'ondes de choc).

Conséquence

Permet la construction explicite de solutions classiques pour de nombreux problèmes du premier ordre et hyperboliques, éclaire la propagation de l'information et la causalité, et identifie où et quand les solutions cessent d'être régulières (croisement des caractéristiques).

Inversion

Pour les problèmes elliptiques ou paraboliques, ou lorsque l'on cherche des solutions faibles globales après effondrement des caractéristiques, on utilise des approches alternatives (méthodes variationnelles, théorie des semi-groupes, solutions de viscosité) plutôt que les caractéristiques.

Limite

S'applique principalement aux EDP du premier ordre et aux EDP hyperboliques où les courbes caractéristiques sont bien définies ; elle ne traite pas directement les équations elliptiques et, pour les problèmes non linéaires, doit être complétée par des cadres de solutions faibles/entropie quand se forment des discontinuités.

Tension sémantique

Tension entre la vue des caractéristiques comme trajectoires géométriques de propagation et l'interprétation comme courbes intégrales de champs de vecteurs associés ; tension aussi entre méthodes caractéristiques et techniques globales spectrales/variationnelles qui ne suivent pas la propagation locale.

Synthèse

La méthode des caractéristiques transforme une EDP en données ODE le long de courbes spéciales, rendant la propagation et la solution explicites lorsque cela est possible ; c'est une méthode puissante pour les problèmes hyperboliques et du premier ordre mais qu'il faut remplacer ou étendre lorsque les caractéristiques ne donnent pas de solutions lisses univaluées.