Phénomène par lequel une quantité régie par une équation (EDO, EDP, système dynamique ou famille dépendant d'un paramètre) devient non bornée en un temps fini ou pour une variation finie d'un paramètre, de sorte qu'aucune solution de norme finie n'existe au-delà de ce temps ou de cette valeur du paramètre.

Principe

Lorsque l'évolution contient des mécanismes (termes sources supralinéaires, non-linéarités focalisantes, rétroaction positive) faisant que les taux de croissance dominent les effets dissipatifs ou dispersifs, les normes des solutions peuvent diverger en temps fini ; l'explosion est détectée lorsqu'une norme ou observable devient infinie pour une variation finie du paramètre.

Démonstration

Exemple ODE : dy/dt = y^2 avec y(0)=y0>0 a la solution explicite y(t)=1/(1/y0 - t) qui devient non bornée en t = 1/y0. Exemple EDP : certaines équations de chaleur non linéaires focalisantes ou équations de Schrödinger non linéaires possèdent des données initiales produisant une concentration et une norme L^p ou H^s infinie en temps fini.

Mauvaise application

Qualifier toute croissance rapide d'explosion, confondre un dépassement numérique (overflow) ou une erreur de code avec une explosion analytique, ou désigner comme explosion un comportement qui diverge seulement quand t→∞ (alors que l'explosion exige une variation finie du paramètre).

Conséquence

La solution classique cesse d'exister au-delà du temps d'explosion ; l'analyse se tourne vers la classification des singularités, les prolongements faibles ou en mesures, les taux d'explosion et les techniques de régularisation ou renormalisation ; la simulation numérique doit détecter et gérer la croissance non-bornée.

Inversion

Existence globale (en temps ou en paramètre) : les solutions restent bornées dans la norme considérée pour tous les temps finis ou toutes les valeurs du paramètre, généralement assurée par des lois de conservation, une forte dissipation ou des non-linéarités sous-critiques.

Limite

L'explosion se définit relativement à une norme ou observable choisie et exige une variation finie du paramètre ; elle exclut la simple perte de régularité sans divergence de la norme surveillée et les comportements asymptotiques à l'infini de temps, ainsi que les artefacts de discrétisation qui ne reflètent pas le modèle continu.

Tension sémantique

Tension entre l'explosion vue comme une singularité analytique intrinsèque et d'autres emplois du mot 'singularité' (singularité de coordonnées, dépassement numérique) ; il faut distinguer la divergence de norme en temps fini d'une croissance grande mais finie.

Synthèse

L'explosion désigne l'apparition, pour une variation finie du paramètre, d'une singularité essentielle de la magnitude d'une solution — provoquée par des mécanismes de croissance dominants et testée par une norme choisie — après quoi les concepts classiques de solution échouent et des descriptions analytiques ou régularisées sont nécessaires.