Point critique (stationnaire) d'une fonction ou équilibre d'un système dynamique pour lequel la Hessienne (pour fonctions lisses de dimension finie) ou la linéarisation (pour systèmes dynamiques) n'est pas non dégénérée (déterminant nul ou valeurs propres nulles), de sorte que la classification quadratique standard (théorie de Morse, stabilité linéaire) n'est pas applicable.

Principe

Lorsque le terme quadratique principal s'annule, le comportement local est gouverné par des termes d'ordre supérieur, des variétés invariantes et la structure des bifurcations ; les points critiques dégénérés sont des lieux où la classification générique échoue et exigent l'emploi de formes normales, de la variété centre ou de la théorie des singularités.

Démonstration

Exemple de fonction : f(x,y)=x^3 - y^2 a un point critique en (0,0) dont la Hessienne est dégénérée ; le terme cubique contrôle la topologie locale. Exemple dynamique : une bifurcation de type saddle-node crée un équilibre avec une valeur propre nulle de la linéarisation, produisant un équilibre non hyperbolique (dégénéré) nécessitant une réduction sur la variété centre.

Mauvaise application

Appliquer le lemme de Morse ou des conclusions de stabilité linéaire en présence d'un point critique dégénéré (par exemple déclarer stabilité ou indice à partir du signe de la Hessienne quand la Hessienne est singulière), ou réduire la dégénérescence à un simple bruit numérique alors qu'il s'agit d'une caractéristique structurelle pouvant signaler une bifurcation.

Conséquence

Il faut analyser les termes d'ordre supérieur, utiliser formes normales et théorie de la variété centre, et s'attendre à des possibilités comme bifurcations, instabilité structurelle ou dynamique lente ; la dégénérescence signale souvent des valeurs de paramètres où surviennent des changements qualitatifs.

Inversion

Point critique non dégénéré (de Morse) : la Hessienne est inversible (pas de valeurs propres nulles), permettant une classification locale par indice, une forme normale quadratique et une persistance robuste sous petites perturbations.

Limite

La définition suppose une régularité suffisante (typiquement C^2 ou plus) ; en dimension infinie la 'Hessienne' et la 'linéarisation' sont des opérateurs et la dégénérescence spectrale nécessite un traitement fonctionnel-analytique ; les problèmes nondifférentiables sont exclus.

Tension sémantique

Tension entre 'dégénéré' au sens technique d'échec de non-dégénérescence et les usages familiers suggérant des cas pathologiques ou négligeables ; mathématiquement, la dégénérescence est souvent significative, marquant des points de bifurcation plutôt qu'un simple accident.

Synthèse

Un point critique dégénéré est un point où l'approximation quadratique (linéaire) s'annule ou n'est pas inversible, imposant le recours à des développements d'ordre supérieur, des réductions par variétés invariantes et l'analyse des bifurcations pour déterminer la topologie et la dynamique locale qui ne peuvent être déduites de la seule Hessienne ou linéarisation.