Une application bijective qui préserve la structure entre deux objets mathématiques et dont l'inverse préserve aussi la structure ; elle identifie les objets comme identiques au regard de la structure considérée.

Principe

Deux objets sont indiscernables pour une théorie donnée s'il existe un isomorphisme entre eux ; la préservation de la structure et l'inversibilité sont les critères d'équivalence.

Démonstration

Un isomorphisme linéaire entre espaces vectoriels de dimension finie : une application linéaire bijective f: V → W admettant une inverse linéaire ; il transporte exactement bases, dimension et relations linéaires.

Mauvaise application

Prendre des objets isomorphes pour strictement identiques dans tous les contextes (par exemple confondre des groupes isomorphes sans tenir compte d'une structure topologique ambiante) ou supposer l'existence d'un isomorphisme canonique alors qu'il n'en existe que des non canoniques.

Conséquence

Tous les invariants structurels (exprimables dans le langage de la structure) sont préservés et transférables ; la classification se ramène aux classes d'isomorphie.

Inversion

Une non-isomorphie peut être un homomorphisme non bijectif ou une bijection qui ne préserve pas les opérations ; dans les deux cas l'équivalence structurelle est perdue.

Limite

Exige une bijection et la préservation de la structure considérée ; différentes catégories imposent des exigences de préservation différentes (un isomorphisme dans une catégorie peut ne pas l'être dans une autre). L'égalité des ensembles sous-jacents n'est ni requise ni implicite.

Tension sémantique

Le 'même' familier contre le 'isomorphe' technique — l'isomorphisme affirme l'identité de structure, pas l'identité littérale ; confusion fréquente entre isomorphisme et équivalence de catégories (plus faible).

Synthèse

Un isomorphisme est l'identification inversible et préservant la structure qui certifie que deux objets sont le même objet pour la théorie déterminée par la structure donnée.