Une paire de foncteurs F : C → D et G : D → C munie d'isomorphismes naturels ε : F∘G ⇒ Id_D et η : Id_C ⇒ G∘F (ou équivalemment F pleinement fidèle et essentiellement surjectif) montrant que C et D ont la même structure catégorique à isomorphisme d'objets près ; ce n'est pas nécessairement un isomorphisme strict de catégories mais une notion plus faible préservant les propriétés catégoriques.

Principe

L'équivalence saisit quand deux catégories sont « identiques pour tous les usages catégoriques » : les objets correspondent à isomorphisme près, les ensembles de morphismes correspondent via F et G, et les constructions catégoriques se transportent le long de l'équivalence.

Démonstration

La catégorie Vect_k^fd des espaces vectoriels de dimension finie sur un corps k est équivalente à la catégorie des modules libres de rang fini sur k ; le foncteur qui envoie un espace vectoriel sur le module libre correspondant et son inverse fournissent des isomorphismes naturels entre les compositions et les identités à isomorphisme canonique près.

Mauvaise application

Prendre une simple bijection des classes d'objets ou une correspondance des ensembles sous‑jacent comme équivalence de catégories ; ignorer la naturalité des isomorphismes ou la pleine fidélité conduit à de fausses affirmations d'équivalence.

Conséquence

Si les catégories sont équivalentes, toute propriété catégorique invariante par équivalence (existence de limites, être abélienne, complétude, etc.) vaut dans l'une si et seulement si elle vaut dans l'autre ; on peut transférer constructions et résultats par l'équivalence.

Inversion

Un isomorphisme strict de catégories est une notion plus forte (foncteurs inversement stricts). L'inverse d'une équivalence serait l'absence de surjectivité essentielle ou de pleine fidélité, ne produisant qu'un plongement plus faible ou un foncteur dense.

Limite

L'équivalence est plus faible que l'égalité des catégories : elle autorise l'identification d'objets seulement à isomorphisme près. Elle exige foncteurs et isomorphismes naturels ; elle n'implique pas l'égalité des ensembles sous‑jacents ni l'identité des objets.

Tension sémantique

Concepts voisins : « isomorphisme de catégories » (stricte, sur le nez) vs « équivalence » (à isomorphisme près). La tension apparaît lorsqu'on décide si une similarité structurelle exige une identité littérale ou seulement une équivalence à isomorphisme canonique près.

Synthèse

Une équivalence de catégories est le critère catégorique pour dire que deux catégories présentent la même mathématique : des foncteurs pleinement fidèles et essentiellement surjectifs (ou accompagnés d'isomorphismes naturels vers les identités) assurent que notions et constructions catégoriques se correspondent.