Une procédure asymptotique qui transforme une description microscopique par particules ou cinétique en équations macroscopiques de fluide en prenant des limites et des mises à l'échelle appropriées de l'espace, du temps et du nombre de particules, conduisant typiquement à des lois de conservation (masse, quantité de mouvement, énergie) et à des relations constitutives (par ex. viscosité).

Principe

Sous séparation des échelles et équilibre local, les interactions microscopiques rapides se moyennent et restent des champs conservés lents dont l'évolution est décrite par des équations aux dérivées partielles continues déterminées par les symétries et les lois de conservation.

Démonstration

Dérivation des équations d'Euler ou de Navier–Stokes à partir d'un modèle cinétique en faisant tendre la longueur moyenne de chemin et l'échelle de temps microscopique vers zéro tout en redivisant l'échelle d'espace et de temps de sorte que les densités de masse, de moment et d'énergie restent finies ; dans les gaz sur réseau, les champs moyennés de moment et de densité convergent vers une hydrodynamique continue dans le bon régime d'échelle.

Mauvaise application

Prétendre qu'une EDP hydrodynamique déterministe s'applique sans séparation d'échelle, quand les fluctuations sont dominantes (par ex. très faible nombre de particules ou proche d'une criticalité), ou lorsque des interactions à longue portée provoquent un transport non local ; traiter les coefficients comme fixes microscopiquement sans tenir compte de la renormalisation ou du bruit.

Conséquence

Une description macroscopique réduite : lois de conservation avec coefficients de transport effectifs et éventuellement termes de bruit et de mémoire ; des modèles continus pratiques pour l'ingénierie et la théorie remplaçant des simulations microscopiques coûteuses lorsque les hypothèses sont satisfaites.

Inversion

Le régime cinétique ou microscopique où la longueur moyenne de libre parcours ou les longueurs de corrélation sont comparables aux échelles d'observation, de sorte que la description continue échoue et qu'il faut employer Boltzmann, équations maîtresses ou dynamique particulaire complète.

Limite

S'applique dans la limite d'un grand nombre de particules et de petites échelles microscopiques par rapport aux échelles d'observation, sous des hypothèses comme l'équilibre local, les interactions à courte portée et l'ergodicité. Exclut les régimes avec forte non-localité, cohérence quantique macroscopique, dynamique vitreuse non ergodique, ou où les fluctuations restent macroscopiques.

Tension sémantique

Tension avec la « limite thermodynamique » et avec l'homogénéisation : la limite hydrodynamique met l'accent sur la mise à l'échelle dynamique vers des EDP pour champs conservés, alors que d'autres limites privilégient des ensembles d'équilibre ou des coefficients moyennés ; tension aussi entre hydrodynamique déterministe et hydrodynamique fluctuationnelle.

Synthèse

La limite hydrodynamique est l'application asymptotique qui, sous équilibre local et séparation des échelles, transforme la dynamique microscopique en équations macroscopiques de fluide gouvernant les champs conservés, mais sa validité exige l'élimination des corrélations microscopiques persistantes et un redimensionnement approprié.