Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über unbekannten Parametern oder latenten Größen, erhalten durch Aktualisierung einer a-priori-Verteilung mit beobachteten Daten mittels der Likelihood; sie ordnet jedem Parameterwert seine Plausibilität konditioniert auf die beobachteten Daten zu.

Prinzip

Aktualisiere a‑priori‑Glauben, indem Parameterwerte nach der Güte gewichtet werden, mit der sie die beobachteten Daten vorhersagen (Bayessche Regel): posterior ∝ prior × Likelihood, normiert auf Integraleins.

Demonstration

Mit einem Beta(α,β)-Prior für eine Bernoulli-Erfolgswahrscheinlichkeit und der Beobachtung von k Erfolgen in n Versuchen ist der Posterior Beta(α+k, β+n−k), der die aktualisierte Glaubensmasse für die Wahrscheinlichkeit liefert.

Fehlanwendung

Nur eine Punktschätzung wie den Modus zu berichten, als stünde sie für den gesamten Posterior, oder den Posterior als Frequenzaussage über wiederholte Stichproben zu interpretieren, ohne auf dieselben beobachteten Daten und Prior zu konditionieren.

Konsequenz

Ein Posterior liefert eine kohärente Quantifizierung der Parameterunsicherheit, die sich in Vorhersagen, Entscheidungsregeln unter Verlustfunktionen und Modellvergleich (in Verbindung mit marginalen Likelihoods) propagieren lässt.

Umkehrung

Der Prior ist die Verteilung vor der Bedingung auf Daten; Daten zu ignorieren ergibt den Prior, während das Ignorieren der Priorinformation nur die Likelihood übriglässt, die keine Wahrscheinlichkeitsverteilung über Parameter ist.

Abgrenzung

Erfordert spezifizierten Prior und Likelihood; unzulängliche Priors oder falsch spezifizierte Likelihoods können unzulässige oder irreführende Posteriors erzeugen; das Ergebnis hängt sowohl von den Daten als auch von der gewählten Prior‑Klasse ab.

Semantische Spannung

Wird oft dem frequentistischen Konfidenzintervall oder Punktschätzern gegenübergestellt: Ein Posterior ist eine konditionale Wahrscheinlichkeitsverteilung, die Grad des Glaubens ausdrückt, während frequentistische Konstrukte Verfahrensgarantien über hypothetische Wiederholungen bieten.

Synthese

Ein posterior ist die normalisierte Aktualisierung eines Priors durch die Likelihood, die die bedingte Plausibilität von Parameterwerten gegeben die beobachteten Daten quantifiziert.