Eine topologische Mannigfaltigkeit, die mit einem Atlas von Karten ausgestattet ist, deren Übergangsfunktionen differenzierbar einer bestimmten Klasse (C^k oder glatt) sind, wodurch der Raum lokal diffeomorph zu euklidischem Raum ist und Analysis erlaubt.

Prinzip

Lokale euklidische Parametrisierungen (Karten) werden durch differenzierbare Übergangsfunktionen verkittet, sodass Begriffe wie Tangentenvektoren, Differentialformen und Ableitungen global wohldefiniert sind.

Demonstration

Die 2-Sphäre mit stereografischen Projektionen ist eine glatte zweidimensionale Mannigfaltigkeit: überlappende Karten stehen durch glatte Abbildungen in Beziehung, was die Definition von Tangentialebenen und Vektorfeldern auf der Kugel ermöglicht.

Fehlanwendung

Anzunehmen, eine topologische Mannigfaltigkeit besitze automatisch einen differenzierbaren Atlas der gewünschten Glätte oder singuläre Räume (mit nicht-differenzierbaren Punkten) als differenzierbare Mannigfaltigkeiten zu behandeln.

Konsequenz

Ermöglicht Differentiation und die Definition geometrischer Objekte (Tangentialbündel, Vektorfelder, Differentialformen), die modernen Formulierungen von Geometrie und dynamischen Systemen auf gekrümmten Räumen zugrunde liegen.

Umkehrung

Eine topologische Mannigfaltigkeit, die keinen differenzierbaren Atlas der geforderten Klasse besitzt, oder ein Raum mit Singularitäten (z. B. ein Orbifold oder eine singuläre algebraische Varietät), der nicht überall glatte Karten zulässt.

Abgrenzung

Bezieht sich auf endlichdimensionale Mannigfaltigkeiten mit angegebener Differenzierbarkeitsklasse; schließt Mannigfaltigkeiten mit Rand sofern nicht angegeben, unendlichdimensionale Mannigfaltigkeiten und Räume mit nicht-differenzierbaren Singularitäten aus.

Semantische Spannung

Nahezu verwandt mit algebraischen Varietäten oder topologischen Mannigfaltigkeiten: differenzierbare Mannigfaltigkeiten verlangen glatte Übergangsfunktionen, während topologische Mannigfaltigkeiten nur stetige Übergänge benötigen und algebraische Varietäten polynomiale Relationen erfüllen.

Synthese

Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ist ein lokal wie R^n modellierter Raum mit einem Atlas von differenzierbaren Übergangsfunktionen, der die globale Anwendung der Analysis durch konsistente lokale Koordinaten ermöglicht.