Une variété topologique munie d'un atlas de cartes coordonnées dont les fonctions de transition sont différentiables d'une classe spécifiée (C^k ou lisse), rendant l'espace localement difféomorphe à l'espace euclidien et autorisant le calcul différentiel.

Principe

Des paramétrages locaux euclidiens (cartes) sont recollés par des fonctions de transition différentiables de sorte que des notions comme les vecteurs tangents, les formes différentielles et les dérivées soient définies globalement.

Démonstration

La sphère S^2 avec des projections stéréographiques est une variété lisse de dimension deux : les cartes qui se recouvrent sont reliées par des applications lisses, permettant la définition de plans tangents et de champs de vecteurs sur la sphère.

Mauvaise application

Supposer qu'une variété topologique admet automatiquement un atlas différentiable de la régularité souhaitée ou traiter des espaces singuliers (avec points non différentiables) comme des variétés différentiables.

Conséquence

Permet d'effectuer des différentiations et de définir des objets géométriques (fibrés tangents, champs de vecteurs, formes différentielles), qui sous-tendent les formulations modernes de la géométrie et des systèmes dynamiques sur espaces courbes.

Inversion

Une variété topologique qui ne possède aucun atlas différentiable de la classe requise, ou un espace avec singularités (par ex. un orbifold ou une variété algébrique singulière) qui n'admet pas de cartes lisses partout.

Limite

Désigne des variétés de dimension finie avec une classe de différentiabilité spécifiée ; exclut les variétés à bord sauf indication, les variétés de dimension infinie et les espaces présentant des singularités non différentiables.

Tension sémantique

Voisine des variétés algébriques ou des variétés topologiques : les variétés différentiables exigent des fonctions de transition lisses, tandis que les variétés topologiques requièrent seulement des transitions continues et les variétés algébriques satisfont des relations polynomiales.

Synthèse

Une variété différentiable est un espace localement modélisé sur R^n muni d'un atlas dont les fonctions de transition sont différentiables, ce qui permet l'application globale du calcul via des coordonnées locales cohérentes.