Eine Eigenschaft eines stochastischen Prozesses, deren endliche Verteilungsgesetze unter Zeitverschiebungen invariant sind: Für alle t und alle endlichen Index-Tupel hängt die gemeinsame Verteilung von (X_{t+t1},…,X_{t+tk}) nicht von t ab.

Prinzip

Statistische Homogenität in der Zeitdomäne erzwingen, sodass probabilistische Beschreibungen nur von relativen Zeitabständen und nicht von absoluten Zeitursprüngen abhängen.

Demonstration

Diskretes Weißes Rauschen mit i.i.d. Nullmittelwert-Inkrementen ist streng stationär, da jede endliche Sammlung von Werten nach jeder ganzzahligen Verschiebung dieselbe gemeinsame Verteilung hat; ein gaußsches autoregressives Modell kann stationär sein, wenn seine Parameter in der Stabilitätsregion liegen.

Fehlanwendung

Stationarität mit Unabhängigkeit oder lediglich konstanter Erwartung zu verwechseln; ein Prozess kann konstantes erstes Moment besitzen, aber zeitabhängige höherordentliche Struktur und somit nicht stationär sein.

Konsequenz

Stationarität erlaubt die Anwendung spektraler Methoden und zeitinvarianter Korrelationsfunktionen; in Kombination mit Ergodizität konvergieren zeitliche Mittel für fast jede Realisierung gegen Ensemble-Erwartungswerte.

Umkehrung

Nichtstationäre Prozesse zeigen zeitlich veränderliche Statistiken (Trends, periodische Modulation der Momente, sich entwickelnde Varianz) und benötigen zeitabhängige Modelle oder Detrending, damit Standardmethoden für Stationarität gelten.

Abgrenzung

Definiert bezüglich einer Indexmenge (diskret oder kontinuierlich) und betrifft die Invarianz gemeinsamer Verteilungen; schwächere Begriffe (zweitordentliche oder weitgespannte Stationarität) fordern nur Konstanz des Mittels und Verschiebungsinvarianz der zweiten Momente.

Semantische Spannung

Gegenüberstellung von strenger Stationarität (Invarianz aller endlichen Verteilungen) und weitgespannter Stationarität (nur erstes und zweites Moment sind verschiebungsinvariant); Letzteres genügt vielen linearen Signalmethoden, lässt jedoch höherordentliche Struktur außer Acht.

Synthese

Stationarität ist die Zeittranslationsinvarianz des Wahrscheinlichkeitsgesetzes eines Prozesses und begründet zeitliche Homogenität, die spektrale Repräsentationen, invariante Korrelationsfunktionen und zahlreiche Standardverfahren der Inferenz ermöglicht.