Ein probabilistisches Resultat, das aussagt, dass geeignet normierte Summen (oder Mittelwerte) vieler unabhängiger, identisch verteilter Zufallsvariablen mit endlicher Varianz in Verteilung gegen eine Gaußsche (Normal-)Verteilung konvergieren, wenn die Anzahl der Terme gegen unendlich geht.

Prinzip

Aggregation und Normierung verwandeln mikroskopische Zufälligkeit unter schwachen Regularitätsbedingungen in einen universellen, stabilen Attraktor (die Gaußsche Verteilung).

Demonstration

Berechne Stichprobenmittelwerte der Größe n aus einer Gleichverteilung auf [0,1] für wachsende n; das Histogramm der normierten Summen nähert sich der Glockenkurve der Normalverteilung an.

Fehlanwendung

Den Satz auf Summen von schwer verhältnisverteilten Variablen mit unendlicher Varianz anwenden; solche Summen können zu einer stabilen nicht-gausschen Verteilung konvergieren.

Konsequenz

Rechtfertigt Normalapproximationen in der Inferenz und Fehlerfortpflanzung für große Stichproben und ermöglicht z-basierte Konfidenzintervalle und Tests, sofern die Bedingungen erfüllt sind.

Umkehrung

Ohne Aggregation oder bei unendlicher Varianz behält das Grenzverhalten die ursprünglichen Verteilungseigenschaften oder folgt einer anderen stabilen Verteilung anstatt der Gaußschen.

Abgrenzung

Erfordert Unabhängigkeit oder schwache Abhängigkeit und endlichen zweiten Moment; gilt nicht für stark abhängige Folgen, sehr kleine Stichproben oder Verteilungen ohne endliche Varianz.

Semantische Spannung

Steht im Wettbewerb mit exakten endlichen Stichprobenverteilungen und mit stabilen Gesetzen bei schweren Tails; praktisch besteht Spannung zwischen asymptotischer Gauß-Approximation und Genauigkeit bei kleinen Stichproben.

Synthese

Der zentrale Grenzwertsatz besagt, dass unter schwachen Regularitätsbedingungen die normierte Summe vieler unabhängiger Zufallsbeiträge gegen eine Gaußsche Verteilung konvergiert und so ein universelles Modell für aggregiertes Verhalten liefert.