Un resultado probabilístico que afirma que sumas (o medias) adecuadamente normalizadas de muchas variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con varianza finita convergen en distribución a una ley gaussiana (normal) cuando el número de términos crece ilimitadamente.

Principio

La agregación y la normalización transforman la aleatoriedad microscópica en un atractor estable y universal (la gaussiana) bajo condiciones de regularidad suaves.

Demostración

Calcular medias muestrales de tamaño n de una distribución uniforme[0,1] para n crecientes; el histograma de las sumas normalizadas tiende a la forma de campana de la densidad normal.

Aplicación incorrecta

Aplicar el teorema a sumas de variables de cola pesada con varianza infinita; tales sumas pueden converger a una ley estable no gaussiana.

Consecuencia

Justifica aproximaciones normales en inferencia y propagación de error para muestras grandes, permitiendo intervalos de confianza y pruebas basadas en la normal cuando se cumplen las condiciones.

Inversión

Sin agregación o cuando la varianza es infinita, el comportamiento límite conserva rasgos de la distribución original o sigue otra ley estable en lugar de la gaussiana.

Límite

Requiere independencia o dependencia débil y segundo momento finito; no se aplica a secuencias con dependencia fuerte, muestras muy pequeñas o distribuciones sin varianza finita.

Tensión semántica

Compite con distribuciones exactas de muestra finita y con límites de leyes estables para colas pesadas; la tensión práctica está entre la aproximación gaussiana asintótica y la precisión en muestras pequeñas.

Síntesis

El teorema central del límite afirma que, bajo condiciones de regularidad moderadas, la suma normalizada de muchas contribuciones aleatorias independientes converge a una ley gaussiana, ofreciendo una aproximación universal del comportamiento agregado.