Ein Satz der Vektoranalysis, der den Fluss eines Vektorfeldes durch die orientierte Randfläche eines Volumens mit dem Volumenintegral der Divergenz dieses Feldes über das Innere gleichsetzt.

Prinzip

Lokale Flussdichte (die Divergenz) integriert sich zum Gesamtfluss über die Grenze: Divergenz misst punktweise Quellen-/Senkenstärke und Integration wandelt diese lokale Größe in eine globale Erhaltungsaussage um.

Demonstration

Für ein C^1-Vektorfeld F auf einer Kugel gilt ∬_{∂V} F·n dS = ∭_V (∇·F) dV; man kann beide Seiten für F(x)=x berechnen, um die Gleichheit zu prüfen.

Fehlanwendung

Anwendung des Satzes auf ein Feld mit Unstetigkeiten oder auf ein Gebiet ohne stückweise glatte, orientierbare Grenze; dies führt zu fehlerhaften Fluss–Volumen-Umrechnungen.

Konsequenz

Ermöglicht die Umwandlung zwischen Flächen- und Volumenformulierungen von Bilanzgleichungen und vereinfacht die Analyse in Elektromagnetismus, Strömungsmechanik und Erhaltungsgleichungen.

Umkehrung

Der Satz von Stokes verbindet den Rotation (curl) mit der Zirkulation am Rand einer Fläche und wandelt einen anderen lokalen Differentialoperator (curl) in ein Linienintegral um statt in eine Fluss–Volumen-Identität.

Abgrenzung

Erfordert, dass das Vektorfeld stetige erste Ableitungen im Gebiet besitzt und das Gebiet eine wohl definierte orientierbare Grenze hat; schließt fraktale Grenzen und Distributionen mit inneren Singularitäten aus, außer in verallgemeinerten Formen.

Semantische Spannung

Verwandt mit diskreten Divergenzoperatoren in der Numerik, bei denen gitterabhängige Approximationen die kontinuierliche Exaktheit nicht erhalten; die Spannung entsteht zwischen der kontinuierlichen Identität und ihren diskreten Analoga in numerischen Verfahren.

Synthese

Der Divergenzsatz besagt, dass das Integral der punktweisen Quellstärke (Divergenz) über ein Volumen gleich dem Nettofluss durch die Grenze ist und so die lokale-zu-globalen Verbindung in Erhaltungsgesetzen liefert.