Un théorème du calcul vectoriel qui met en équivalence le flux d'un champ vectoriel à travers la surface orientée frontière d'un volume et l'intégrale sur le volume de la divergence de ce champ à l'intérieur.

Principe

La densité locale de flux (la divergence) s'intègre en flux total sur la frontière : la divergence mesure localement la force source/puit et l'intégration convertit cette quantité locale en une affirmation globale de conservation.

Démonstration

Pour un champ vectoriel C^1 F sur une boule solide, l'intégrale de surface ∬_{∂V} F·n dS est égale à l'intégrale volumique ∭_V (∇·F) dV ; calculer les deux côtés pour F(x)=x vérifie l'égalité.

Mauvaise application

Appliquer le théorème à un champ présentant des discontinuités ou à un domaine dépourvu d'une frontière orientée et piecewise-lisse ; cela conduit à des conversions flux-volume incorrectes.

Conséquence

Permet de convertir des formulations de surface en formulations volumiques des lois de bilan, simplifiant l'analyse en électromagnétisme, mécanique des fluides et équations de conservation.

Inversion

Le théorème de Stokes relie la rotation (curl) à la circulation sur la frontière d'une surface, convertissant un autre opérateur différentiel local (rotationnel) en une intégrale curviligne plutôt qu'en une identité flux–volume.

Limite

Exige que le champ vectoriel possède des dérivées premières continues sur le domaine et que le domaine possède une frontière orientée bien définie ; exclut les frontières fractales et les distributions avec singularités intérieures sauf dans des formulations généralisées.

Tension sémantique

Lié aux opérateurs de divergence discrets en numérique où des approximations dépendantes du maillage peuvent ne pas préserver l'exactitude continue ; la tension apparaît entre l'identité continue et ses analogues discrets dans les schémas numériques.

Synthèse

Le théorème de la divergence affirme que l'intégrale de la force source ponctuelle (divergence) sur un volume égale le flux net à travers la frontière, fournissant le pont local-vers-global utilisé dans les lois de conservation.