Ein Ergebnis der algebraischen Geometrie, das besagt, dass zwei projektive ebenen Kurven über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ohne gemeinsame Komponente in einer Anzahl von Punkten schneiden, die gleich dem Produkt ihrer Grade ist, gezählt mit Multiplizität und einschließlich Schnittpunkten im Unendlichen.

Prinzip

Das affine Bild in den projektiven Raum vervollständigen und Schnittpunkte mit algebraischer Multiplizität zählen; das Fehlen gemeinsamer Komponenten sichert eine endliche Anzahl von Schnittpunkten und eine gradbasierte Zählung.

Demonstration

Zwei verschiedene Geraden (jeweils Grad 1) in der projektiven Ebene schneiden sich in 1 = 1·1 Punkt; eine Konik (Grad 2) und eine Kubik (Grad 3) schneiden sich generisch in 6 Punkten, mit Multiplizität und ggf. im Unendlichen gerechnet.

Fehlanwendung

Die Zählung über einem nicht algebraisch abgeschlossenen Körper ohne Basiswechsel anzuwenden oder gemeinsame Komponenten (gemeinsame Faktoren) zu ignorieren, was die endliche Produktsumme ungültig macht und zu unendlich vielen Schnitten führt.

Konsequenz

Stellt eine fundamentale Schnittzählung bereit, die in der enumerativen Geometrie und zur Berechnung von Schnittzahlen verwendet wird; sie bildet die Grundlage für weitergehende Schnitttheorie und Multiplizitätsberechnungen.

Umkehrung

Der Fall, dass Kurven eine gemeinsame Komponente teilen (gemeinsamer Faktor in ihren definierenden Polynomen), was zu unendlich vielen Schnittpunkten führt und das Gradprodukt nicht mehr als endliche Zählung gilt.

Abgrenzung

Gilt für Kurven in der projektiven Ebene über algebraisch abgeschlossenen Körpern und zählt Schnittpunkte mit algebraischer Multiplizität; verallgemeinert sich nicht unmittelbar ohne Modifikation auf höhere Kodimensionen oder nicht‑projektive Situationen ohne verfeinerte Schnitttheorie.

Semantische Spannung

Spannung zwischen der naiven geometrischen Zählung sichtbarer, unterschiedlicher Schnittpunkte und der algebraischen Zählung, die Multiplizitäten und Punkte im Unendlichen einschließt — beide sind sinnvoll, weichen aber ohne Präzisierung ab.

Synthese

Der Bézoutsche Satz besagt, dass zwei projektive Ebenenkurven über einem algebraisch abgeschlossenen Körper und ohne gemeinsame Komponente in deg(f)·deg(g) Punkten zusammenstoßen, wenn Multiplizität und Punkte im Unendlichen berücksichtigt werden, womit der Grad das zentrale Schnittinvariant ist.