Resultado en geometría algebraica que afirma que, sobre un cuerpo algebraicamente cerrado, dos curvas del plano proyectivo sin componente común se intersectan en un número de puntos igual al producto de sus grados, contados con multiplicidad e incluyendo intersecciones en el infinito.

Principio

Completar la imagen afín al espacio proyectivo y contar intersecciones con multiplicidad algebraica; la ausencia de componente común garantiza un número finito de intersecciones y un recuento basado en los grados.

Demostración

Dos rectas distintas (grado 1 cada una) en el plano proyectivo se intersectan en 1 = 1·1 punto; una cónica (grado 2) y una cúbica (grado 3) se encuentran genéricamente en 6 puntos contados con multiplicidad y en el infinito si es necesario.

Aplicación incorrecta

Aplicar el recuento sobre un cuerpo no algebraicamente cerrado sin extender la base, o ignorar componentes comunes (factores compartidos) que invalidan el recuento finito por producto y conducen a intersecciones infinitas.

Consecuencia

Proporciona un recuento de intersecciones fundamental usado en geometría enumerativa y para calcular números de intersección; subyace a teorías de intersección más avanzadas y cálculos de multiplicidad.

Inversión

La situación en la que las curvas comparten una componente común (un factor en sus polinomios definitorios) provocando infinitos puntos de intersección, de modo que el producto de grados ya no da un recuento finito.

Límite

Se aplica a curvas del plano proyectivo sobre cuerpos algebraicamente cerrados, contando intersecciones con multiplicidad algebraica; no se generaliza directamente sin modificación a codimensiones superiores o entornos no proyectivos sin teoría de intersección refinada.

Tensión semántica

Tensión entre el recuento geométrico ingenuo de puntos de intersección distintos y el recuento algebraico que incluye multiplicidad y puntos en el infinito — ambos tienen sentido pero difieren salvo que se precise.

Síntesis

El teorema de Bézout afirma que dos curvas proyectivas del plano sobre un cuerpo algebraicamente cerrado y sin componente común se intersecan en deg(f)·deg(g) puntos cuando se incluyen multiplicidades y puntos en el infinito, haciendo del grado el invariante primordial de intersección.