Eine differenzierbare Abbildung zwischen Gebieten, die an jedem differenzierbaren Punkt mit nichtverschwindender Ableitung die orientierten Winkel erhält; infinitesimale Gestalten werden skaliert und rotiert, aber nicht gescheret.

Prinzip

Lokale Ähnlichkeit: An jedem Punkt wirkt die Abbildung wie eine Ähnlichkeitstransformation (lokale Skalierung und Rotation), sodass der Winkel zwischen zwei differenzierbaren Kurven erhalten bleibt.

Demonstration

Eine Möbiustransformation, die die Einheitskreisscheibe in die obere Halbebene abbildet, ist auf der komplexen Ebene abgesehen von ihren Polen konform: sie sendet sich schneidende Kurven auf Kurven mit denselben Schnittwinkeln.

Fehlanwendung

Ein Homöomorphismus als konform zu bezeichnen, weil er an einzelnen Punkten einige Winkel bewahrt, oder die Erhaltung der Fläche fälschlich mit Konformität zu verwechseln.

Konsequenz

Die infinitesimale geometrische Struktur bleibt bis auf Skalierung und Orientierung erhalten, daher werden harmonische Funktionen unter Rückkomposition zu harmonischen Funktionen und lokale Formmerkmale bleiben erhalten.

Umkehrung

Eine flächenerhaltende Diffeomorphismus, der Winkel nicht erhält (z. B. eine Scherung) — sie erhält die Fläche, verändert jedoch lokale Winkel und infinitesimale Gestalten.

Abgrenzung

Voraussetzung ist Differenzierbarkeit und eine nichtverschwindende Ableitung an den betrachteten Stellen; in Dimensionen größer als zwei sind konforme Abbildungen sehr viel starrer (Kompositionen aus Ähnlichkeiten und Inversionen), und diskontinuierliche oder rein topologische Abbildungen sind ausgeschlossen.

Semantische Spannung

Isometrie versus Konforme Abbildung: Eine Isometrie erhält Längen und Winkel global, eine konforme Abbildung erhält Winkel, kann aber Längen ortsabhängig skalieren.

Synthese

Eine konforme Abbildung ist eine differenzierbare, lokal ähnlichkeitsartige Transformation zwischen Gebieten, die orientierte Winkel und infinitesimale Gestalten bis auf eine ortsabhängige Skalierung und Rotation erhält.