Una aplicación diferenciable entre dominios que preserva los ángulos orientados en cada punto donde es diferenciable y tiene derivada no nula; las figuras infinitesimales se escalan y rotan pero no se deforman por cizallamiento.

Principio

Semejanza local: en cada punto la aplicación actúa como una transformación de semejanza (una escala local y una rotación), de modo que el ángulo entre dos curvas diferenciables se conserva.

Demostración

Una transformación de Möbius que envía el disco unidad al semiplano superior es conforme en el plano complejo salvo en sus polos: mapea curvas que se intersectan a curvas con los mismos ángulos de intersección.

Aplicación incorrecta

Llamar conforme a un homeomorfismo porque preserva ángulos en puntos aislados, o confundir preservación global del área con conformidad.

Consecuencia

La estructura geométrica infinitesimal se conserva salvo por escala y orientación, por lo que funciones armónicas se transforman en funciones armónicas por composición y las características locales de forma se mantienen.

Inversión

Un difeomorfismo que preserva el área pero no los ángulos (por ejemplo, un cizallamiento): conserva el área pero altera los ángulos y las formas infinitesimales.

Límite

Requiere diferenciabilidad y derivada no nula donde se afirma la propiedad; en dimensiones mayores que dos las aplicaciones conformes son mucho más rígidas (composiciones de semejanzas e inversiones), y se excluyen las aplicaciones discontinuas o meramente topológicas.

Tensión semántica

Isometría frente a aplicación conforme: una isometría preserva longitudes y ángulos globalmente, mientras que una aplicación conforme preserva ángulos pero puede reescalar longitudes de forma no uniforme.

Síntesis

Una aplicación conforme es una transformación diferenciable, localmente de semejanza, entre dominios que preserva ángulos orientados y formas infinitesimales salvo por una escala y rotación dependientes del punto.