Eine allgemeine Identität der Differentialgeometrie, die das Integral der äußeren Ableitung einer Differentialform über eine orientierte Mannigfaltigkeit M mit dem Integral der Form über den orientierten Rand ∂M verbindet: ∫_M dω = ∫_{∂M} ω.

Prinzip

Integration und äußere Differentiation kommutieren auf orientierten Mannigfaltigkeiten mit Rand bei geeigneter Regularität; gleichbedeutend damit, dass der Rand eines Randes leer ist und lokale Ableitungen mit globalen Randwerten verbindet.

Demonstration

In R^3 führt Anwendung des Satzes von Stokes auf eine 1-Form, die einem Vektorfeld dual ist, zum klassischen Rotationssatz: ∫_S (curl F)·n dS = ∮_{∂S} F·dr für eine orientierte Fläche S mit Rand ∂S.

Fehlanwendung

Den Satz von Stokes auf nicht orientierbare Mannigfaltigkeiten, auf Gebiete mit Singularitäten oder auf Formen ohne erforderliche Glattheit anwenden und damit ungültige Gleichheiten erhalten.

Konsequenz

Vereint und verallgemeinert fundamentale Resultate der Vektoranalysis (Greenscher Satz, klassische Rotations- und Divergenzsätze), bildet die Grundlage für Erhaltungssatzformulierungen und wandelt lokale differentiale Aussagen in globale Integralaussagen um.

Umkehrung

Lokale differentielle Identitäten (punktweise Gleichheiten von Ableitungen) versus die globale Randintegral-Formulierung: Die Umkehrung betont infinitesimale Struktur statt integrierter Randeffekte.

Abgrenzung

Erfordert eine orientierte differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand (orientierter Rand), Differentialformen der entsprechenden Glattheit und das Fehlen von Singularitäten auf M und ∂M; gilt nicht unmittelbar für fraktale oder nicht-mannigfaltige Gebiete ohne Erweiterung.

Semantische Spannung

Im Vergleich zum Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung: Stokes verallgemeinert den eindimensionalen Fundamentalsatz auf höhere Dimensionen mittels Differentialformen, doch Verwirrung entsteht, wenn Koordinatendarstellungen die Formeninvarianz verschleiern.

Synthese

Der Satz von Stokes setzt das Integral der Ableitung einer Form über eine Region mit dem Integral der Form über den Rand der Region gleich und vereinheitlicht so lokale differentielle Struktur mit globalen integralen Bilanzen.