Identité générale en géométrie différentielle reliant l'intégrale de la dérivée extérieure d'une forme différentielle sur une variété orientée M à l'intégrale de la forme sur la frontière orientée ∂M : ∫_M dω = ∫_{∂M} ω.

Principe

L'intégration et la différentiation extérieure commutent sur les variétés orientées à bord sous conditions de régularité ; équivalemment, la frontière d'une frontière est nulle, reliant dérivées locales et valeurs globales en bord.

Démonstration

Dans R^3, l'application du théorème de Stokes à une 1-forme duale à un champ de vecteurs donne le théorème classique sur le rotationnel : ∫_S (curl F)·n dS = ∮_{∂S} F·dr pour une surface orientée S de frontière ∂S.

Mauvaise application

Employer le théorème de Stokes sur des variétés non orientables, des domaines avec singularités ou avec des formes insuffisamment régulières, produisant des égalités invalides.

Conséquence

Unifie et généralise les résultats fondamentaux du calcul vectoriel (théorème de Green, théorèmes classiques sur le rotationnel et la divergence), sert de fondement aux formulations de lois de conservation et convertit des assertions différentielles locales en relations intégrales globales.

Inversion

Identités différentielles locales (égalités pointwise des dérivées) versus l'énoncé intégral global de bord : l'inversion met l'accent sur la structure infinitésimale plutôt que sur les effets intégrés au bord.

Limite

Exige une variété différentiable orientée à bord (avec frontière orientée), des formes différentielles de régularité adaptée, et l'absence de singularités sur M et ∂M ; ne s'applique pas directement aux domaines fractals ou non variétaux sans extension.

Tension sémantique

Par rapport au théorème fondamental du calcul : Stokes généralise le cas unidimensionnel au moyen des formes différentielles en dimensions supérieures, mais la confusion survient quand les expressions en coordonnées masquent l'invariance des formes.

Synthèse

Le théorème de Stokes égalise l'intégrale de la dérivée d'une forme sur une région à l'intégrale de la forme sur la frontière de la région, unifiant la structure différentielle locale et les bilans intégrés globaux.