Eine Darstellung einer periodischen Funktion auf einem Intervall als (gegebenenfalls unendliche) Summe von sinusförmigen Basisfunktionen oder komplexen Exponentialen mit diskreten Frequenzen und zugehörigen Koeffizienten.

Prinzip

Die Orthogonalität der trigonometrischen Basisfunktionen über die Periode liefert eindeutige Expansionskoeffizienten, die den Frequenzgehalt des Signals erfassen.

Demonstration

Stellt man die Rechteckschwingung auf [-π,π] als Summe ungerader Sinusterms dar, deren Koeffizienten wie 1/n abfallen, so wird die Wellenform bis auf die Gibbs-Überschwinger an Sprungstellen reproduziert.

Fehlanwendung

Die Verwendung einer endlichen Fourierreihe zur Modellierung einer nichtperiodischen Funktion ohne geeignete Periodisierung führt zu Artefakten und falscher Extrapolation außerhalb der Periode.

Konsequenz

Ermöglicht die Verbindung zwischen Zeit- und Frequenzbereich für periodische Signale und erlaubt spektrales Filtern, Modalanalyse und die Lösung von PDEn mit periodischen Randbedingungen.

Umkehrung

Statt in diskrete Harmonische zu zerlegen (Fourierreihe) kann man nichtperiodische Signale durch eine kontinuierliche Spektrumsdarstellung beschreiben, die Energie anders verteilt (z. B. Fouriertransformierte).

Abgrenzung

Gilt für Funktionen auf einem kompakten Intervall mit periodischer Fortsetzung oder in L2 des Kreises; gilt nicht automatisch für beliebige nichtperiodische Distributionen ohne Fortsetzung oder verallgemeinerte Konvergenzbegriffe.

Semantische Spannung

Steht im Wettbewerb mit lokalisierten Entwicklungen (Wavelets, fensterbasierte Transform) die statt globaler Sinusbasis Zeit-Frequenz-Lokalisierung bieten.

Synthese

Ein Verfahren, das periodische Signale mittels orthogonaler sinusförmiger Basen als diskreten Satz harmonischer Koeffizienten darstellt; nützlich für globale Frequenzanalyse, jedoch empfindlich gegenüber Diskontinuitäten und Nicht-PERIODIZITÄT.