Une représentation d'une fonction périodique sur un intervalle comme somme (éventuellement infinie) de fonctions sinusoïdales ou d'exponentielles complexes de fréquences discrètes avec des coefficients correspondants.

Principe

L'orthogonalité des éléments de base trigonométriques sur la période donne des coefficients d'expansion uniques qui capturent le contenu fréquentiel du signal.

Démonstration

Exprimer une onde carrée sur [-π,π] comme somme de termes sinusoïdaux impairs dont les coefficients décroissent comme 1/n, reproduisant la forme d'onde à l'exception du phénomène de Gibbs aux discontinuités.

Mauvaise application

Utiliser une série de Fourier tronquée pour modéliser une fonction non périodique sans extension appropriée conduit à des artéfacts et à une mauvaise extrapolation hors de la période.

Conséquence

Fait le lien entre domaine temporel et domaine fréquentiel pour les signaux périodiques, permettant filtrage spectral, analyse modale et résolution d'équations aux dérivées partielles à conditions périodiques.

Inversion

Au lieu de décomposer en harmoniques discrètes (série de Fourier), on peut représenter des signaux non périodiques par une transformée à spectre continu qui localise l'énergie différemment (par ex. la transformée de Fourier).

Limite

S'applique aux fonctions définies sur un intervalle compact avec extension périodique ou dans L2 du cercle ; ne s'applique pas automatiquement à des distributions non périodiques sans extension ou notions généralisées de convergence.

Tension sémantique

Concurrence avec les développements localisés (ondelettes, transformées fenêtrées) qui privilégient la localisation temps-fréquence plutôt que des bases sinusoïdales globales.

Synthèse

Un outil codant les signaux périodiques par un ensemble discret de coefficients harmoniques utilisant des bases sinusoïdales orthogonales, efficace pour l'analyse fréquentielle globale mais sensible aux discontinuités et à la non-périodicité.