Ein semiclassisches asymptotisches Verfahren zur Konstruktion näherungsweiser Lösungen linearer Differentialgleichungen, bei denen ein kleiner Parameter die höchste Ableitung multipliziert, durch Entwicklung des Logarithmus der Lösung (der Wirkung) in Potenzen dieses Parameters.

Prinzip

Man nimmt eine Lösung in Exponentialform mit schnell variierender Phase S(x)/ε an und entwickelt S und Amplitude in asymptotischen Reihen; der führende Ordnungsausgleich liefert eine Eikonalgleichung für die Phase und Transportgleichungen für die Amplituden.

Demonstration

Wendet man das Ansatz auf die eindimensionale Schrödingergleichung mit kleinem Planckschen Wirkungsquantum an, liefert der führende WKB-Term oszillatorische Lösungen in klassisch erlaubten Regionen und exponentiellen Zerfall in verbotenen Regionen, mit Verbindungsformeln an Wende-punkten nach Matching.

Fehlanwendung

Die lokale WKB-Entwicklung durch Wende-punkte oder über Bereiche anzuwenden, in denen die Reihenordnung des kleinen Parameters zusammenbricht, ohne abgestimmte Asymptotik zu verwenden, liefert falsche Amplituden und Phasenschübe.

Konsequenz

Gibt explizite asymptotische Ausdrücke für Wellenphasen und -amplituden, approximiert Tunnelungs-Exponenten und Quantisierungsbedingungen und bietet kostengünstige Näherungen für langsam variierende Probleme.

Umkehrung

Die asymptotische WKB-Konstruktion durch eine numerische Direktintegration zu ersetzen liefert exakte Lösungen, jedoch mit höherem Rechenaufwand und weniger analytischer Einsicht in die Phasenstruktur.

Abgrenzung

Erfordert einen kleinen dimensionslosen Parameter, glatte Koeffizienten, die auf Skalen größer als dieser Parameter variieren, und das Fehlen singulärer Ansammlungen von Wende-punkten; versagt bei abrupten Potentialen oder mehreren vergleichbaren Skalen ohne zusätzliches Matching.

Semantische Spannung

Wettstreit mit uniformen Approximationen und abgestimmten asymptotischen Entwicklungen, die Wende-punkte und Randschichten behandeln, wo naive WKB versagt.

Synthese

Ein asymptotisches Verfahren, das Lösungen als Exponentialfunktionen einer schnell variierenden Wirkung in einem kleinen Parameter darstellt und führende Phasen- (Eikonal) und Amplituden- (Transport) Näherungen liefert, gültig bei langsam variierenden Koeffizienten.