Ein Parameterwert (oder eine Regel zur Bestimmung eines solchen Werts aus Daten), der die Likelihood der beobachteten Daten unter einem gegebenen parametrischen Modell maximiert; praktisch wird die Log-Likelihood maximiert.

Prinzip

Wähle Parameter, die die beobachteten Daten unter dem Modell am wahrscheinlichsten machen; die Optimierung nutzt Gradienten- oder zweite-Ordnung-Information und Regularitätsbedingungen sorgen für wohlverhalten der Schätzer.

Demonstration

Für unabhängige Bernoulli‑Versuche mit unbekannter Erfolgswahrscheinlichkeit θ ist die Likelihood θ^{k}(1−θ)^{n−k}; der Maximum‑Likelihood‑Schätzer ist θ̂ = k/n, der Stichprobenanteil erfolgreicher Versuche.

Fehlanwendung

Den Schätzer zu verwenden, ohne Modellidentifizierbarkeit oder Regularität zu prüfen (z. B. Randparameter, unendliche Fisher‑Information) oder ihn blind anzuwenden, wenn das Modell stark misspezifiziert ist, führt zu verzerrten oder inkonsistenten Schätzungen.

Konsequenz

Unter üblichen Regularitätsbedingungen ist der Schätzer konsistent und konzentriert sich mit wachsendem Datenumfang um den wahren Parameter; er liefert punktschätzungen, die gegenüber monotonen Reparametrisierungen der Likelihood invariant sind, und bildet oft die Grundlage asymptotischer Inferenz.

Umkehrung

Ein Bayes‑Schätzer konditioniert auf eine Prior und minimiert die posteriori erwartete Verlustfunktion; er integriert Vorwissen und liefert ein anderes Objekt (eine Posterior‑Verteilung oder einen posteriori optimalen Punktschätzer) statt reiner Likelihood‑Maximierung.

Abgrenzung

Gilt innerhalb paramet­rischer Modelle, in denen die Likelihood wohl definiert und optimierbar ist; ausgenommen sind nichtparametrische Verfahren, die keine endlichdimensionale Likelihoodfamilie angeben, sowie Fälle ohne Identifizierbarkeit oder genügende Regularität.

Semantische Spannung

Method-of-moments‑Schätzer gleichen Populationsmomente an Stichprobenmomente an und sind oft einfacher zu berechnen, während Maximum‑Likelihood die Likelihood maximiert und bei korrekter Spezifikation Effizienz erreichen kann.

Synthese

Der Maximum‑Likelihood‑Schätzer wählt Parameterwerte, die die Wahrscheinlichkeit der beobachteten Daten unter einem parametrischen Modell maximieren; er ist ein prinzipienbasiertes, optimierungsorientiertes Punktschätzverfahren mit gut verstandenen asymptotischen Eigenschaften unter Regularitätsbedingungen.