Eine partielle Differentialgleichung, die die zeitliche Entwicklung der Wahrscheinlichkeitsdichte eines zeitkontinuierlichen Markov-Prozesses beschreibt; für Diffusionsprozesse stimmt sie mit der Fokker–Planck-Gleichung überein und ist die adjungierte Entwicklung des Generators auf Dichten.

Prinzip

Erhaltung der Wahrscheinlichkeit ausgedrückt als Kontinuitätsgleichung im Zustandsraum: die zeitliche Ableitung der Dichte ist gleich der negativen Divergenz des Wahrscheinlichkeitsstroms, bestimmt durch das adjungierte des Prozessgenerators auf Dichten.

Demonstration

Der Ornstein–Uhlenbeck-Prozess mit linearer Drift und konstantem Diffusionskoeffizienten besitzt eine gaußsche Fundamentallösung, deren Kovarianz und Mittelwert gemäß expliziter ODEs aus der Vorwärtsgleichung evolvieren.

Fehlanwendung

Die Vorwärts-PDE anzuwenden, ohne Generator-Domäne, Randbedingungen oder Regularität anzugeben, was zu nicht-physikalischen negativen Dichten oder Massenverlust führen kann; oder diskrete Zeitketten zu behandeln, als gelte dieselbe PDE-Form.

Konsequenz

Bei korrekter Anwendung liefert sie die zeitabhängige Zustandverteilung, stationäre Verteilungen als Langzeitgrenzen und Werkzeuge zur Berechnung von Erwartungswerten und Trefferwahrscheinlichkeiten durch Lösen oder Analysieren der PDE.

Umkehrung

Die Kolmogorow-Rückwärtsgleichung entwickelt Testfunktionen oder konditionale Erwartungen rückwärts in der Zeit unter dem Generator und ergänzt damit die Vorwärtsgleichung, welche Dichten vorwärts entwickelt.

Abgrenzung

Gilt für zeitkontinuierliche Markov-Prozesse mit wohldefiniertem infinitesimalem Generator auf kontinuierlichen Zustandsräumen und für Dichten ausreichender Glattheit; schließt rein diskrete Zustandsketten außer über diskrete Mastergleichungen aus.

Semantische Spannung

Steht nahe an der Mastergleichung für diskrete Prozesse und an der Rückwärtsgleichung von Kolmogorow; die Vorwärtsgleichung wirkt auf Dichten (Wahrscheinlichkeitsmaße), während die Rückwärtsgleichung auf Observable oder Erwartungen wirkt.

Synthese

Die Kolmogorow-Vorwärtsgleichung ist die Kontinuitätsform-PDE, die Wahrscheinlichkeitsdichten für Markov-Generatoren zeitlich vorwärts propagiert, die Wahrscheinlichkeitserhaltung kodiert und transiente sowie stationäre Verteilungen bestimmt.