Una ecuación en derivadas parciales que gobierna la evolución temporal de la densidad de probabilidad de un proceso de Markov en tiempo continuo; para procesos de difusión coincide con la ecuación de Fokker–Planck y es la evolución adjunta del generador aplicada a densidades.

Principio

Conservación de la probabilidad expresada como una ecuación de continuidad en el espacio de estados: la derivada temporal de la densidad es igual a la divergencia negativa del flujo de probabilidad determinado por el adjunto del generador del proceso actuando sobre densidades.

Demostración

El proceso de Ornstein–Uhlenbeck con deriva lineal y coeficiente de difusión constante tiene una solución fundamental gaussiana cuyas media y covarianza evolucionan según EDO explícitas derivadas de la ecuación directa.

Aplicación incorrecta

Aplicar la EDP directa sin especificar el dominio del generador, condiciones de contorno o regularidad, lo que puede producir densidades no físicas negativas o pérdida de masa; o tratar cadenas en tiempo discreto como si tuvieran la misma forma PDE.

Consecuencia

El uso correcto proporciona la distribución temporal completa de los estados, distribuciones estacionarias como límites a largo plazo y herramientas para calcular esperanzas y probabilidades de golpe al resolver o analizar la EDP.

Inversión

La ecuación de Kolmogórov hacia atrás evoluciona funciones de prueba o esperanzas condicionales hacia atrás en el tiempo bajo el generador, complementando la ecuación directa que hace evolucionar las densidades hacia adelante.

Límite

Válida para procesos de Markov en tiempo continuo con generadores infinitesimales bien definidos en espacios de estados continuos y para densidades con suavidad suficiente; excluye cadenas de estados puramente discretos salvo mediante la ecuación maestra discreta.

Tensión semántica

Está próxima a la ecuación maestra para procesos de estado discreto y a la ecuación de Kolmogórov hacia atrás; la ecuación directa actúa sobre densidades (medidas de probabilidad) mientras que la inversa actúa sobre observables o esperanzas.

Síntesis

La ecuación directa de Kolmogórov es la EDP en forma de continuidad que propaga densidades de probabilidad hacia adelante en el tiempo para generadores markovianos, codificando la conservación de probabilidad y determinando distribuciones transitorias y estacionarias.