Ein ganzzahliger topologischer Invariant, der einem isolierten Fixpunkt einer stetigen Abbildung auf einer Mannigfaltigkeit (oder im euklidischen Raum) zugeordnet wird und den Fixpunkt algebraisch gemäß dem lokalen Abbildungsgrad von f−id zählt.

Prinzip

Lokale Gradtheorie und Homotopieinvarianz: Der Index ist gleich dem Brouwer‑Grad von f−id auf einer kleinen Kugel um den Fixpunkt und ist invariant unter Homotopien, die den Fixpunkt isoliert lassen und nicht den Rand der Nachbarschaft überschreiten.

Demonstration

Für eine C^1‑Abbildung auf R^2 mit isoliertem Fixpunkt ist der Index gleich dem Vorzeichen von det(I−Df), wenn die Matrix I−Df nicht singulär ist; eine Quelle oder Senke hat Index +1, ein einfacher Sattel hat Index −1.

Fehlanwendung

Die Indexformel anzuwenden, wenn der Fixpunkt nicht isoliert ist, die Linearisierung zu verwenden, wenn I−Df singulär ist, oder Beiträge von Fixpunkten auf dem Rand der gewählten Nachbarschaft zu vernachlässigen, was die Homotopieinvarianz verletzt.

Konsequenz

Der Index liefert qualitative Informationen über die lokale Dynamik (Existenz und Typ von Fixpunkten), und die Summe der Indizes über ein kompaktes Gebiet hängt mit globalen Invarianten (z. B. der Lefschetz‑Zahl) zusammen und liefert Existenzsätze, wenn sie ungleich null ist.

Umkehrung

Die globale Lefschetz‑Zahl oder die Nielsen‑Fixpunkttheorie aggregiert lokale Indizes bzw. verfeinert das Zählen; umgekehrt schließt ein lokaler Index null nicht das Vorhandensein nichttrivialer invarianten Mengen oder höherer Entartungen am Fixpunkt aus.

Abgrenzung

Definiert für isolierte Fixpunkte stetiger Abbildungen auf Mannigfaltigkeiten oder euklidischen Gebieten und setzt Orientierbarkeitsannahmen für Vorzeichen des Grades voraus; schließt Ansammlungen von Fixpunkten und unstetige Abbildungen aus.

Semantische Spannung

Eng verwandt mit dem Brouwer‑Grad und der Lefschetz‑Zahl: Brouwer‑Grad ist ein Grad auf Abbildungsebene, Lefschetz summiert lokale Indizes zu einem globalen Invariante—diese Begriffe überschneiden sich, unterscheiden sich jedoch in Lokalität und Anwendbarkeit.

Synthese

Der Fixpunktindex ist eine ganze Zahl, die einen isolierten Fixpunkt algebraisch mittels des lokalen Abbildungsgrades von f−id zählt; er ist homotopieinvariant bei Isolation und kodiert lokale qualitative Informationen, die in globale Existenzresultate eingehen.