Un invariante topológica de valor entero asignada a un punto fijo aislado de una aplicación continua en una variedad (o en el espacio euclidiano) que cuenta algebraicamente el punto fijo según el grado local de la aplicación menos la identidad.

Principio

Teoría del grado local e invariancia por homotopía: el índice equivale al grado de Brouwer de f−id en una pequeña esfera alrededor del punto fijo y es invariante bajo homotopías que mantienen el punto fijo aislado y no cruzan la frontera del entorno.

Demostración

Para una aplicación C^1 en R^2 con un punto fijo aislado, el índice es igual al signo de det(I−Df) cuando la matriz I−Df es no singular; una fuente o sumidero tiene índice +1, una silla simple tiene índice −1.

Aplicación incorrecta

Aplicar la fórmula del índice cuando el punto fijo no es aislado, usar la linealización cuando I−Df es singular, o ignorar contribuciones de puntos fijos en la frontera del entorno elegido, lo que invalida la invariancia por homotopía.

Consecuencia

El índice proporciona información cualitativa sobre la dinámica local (existencia y tipo de puntos fijos), y la suma de índices en un dominio compacto se relaciona con invariantes globales (p. ej. el número de Lefschetz) dando teoremas de existencia cuando no es cero.

Inversión

El número de Lefschetz global o la teoría de puntos fijos de Nielsen agregan índices locales o refinan el recuento; a la inversa, un índice local nulo no excluye la presencia de conjuntos invariantes no triviales o degeneraciones de orden superior en el punto fijo.

Límite

Definido para puntos fijos aislados de aplicaciones continuas en variedades o dominios euclidianos y requiere supuestos de orientabilidad para los signos del grado; excluye puntos de acumulación del conjunto de puntos fijos y aplicaciones discontinuas.

Tensión semántica

Cercano al grado de Brouwer y al índice de Lefschetz: el grado de Brouwer es un grado a nivel de aplicación, Lefschetz suma índices locales para obtener un invariante global—estas nociones se solapan pero difieren en localidad y aplicabilidad.

Síntesis

El índice de punto fijo es un entero que cuenta algebraicamente un punto fijo aislado mediante el grado local de f−id; es invariante por homotopía bajo aislamiento y codifica información cualitativa local que contribuye a resultados globales de existencia.