Eine Funktion f auf einer konvexen Menge ist quasikonvex, wenn alle ihre Unterniveaumengen {x : f(x) ≤ alpha} für jedes alpha konvex sind; äquivalent gilt f(tx + (1-t)y) ≤ max{f(x), f(y)} für t in [0,1].

Prinzip

Verallgemeinert Konvexität, indem die Konvexität der Unterniveau-Geometrie erhalten bleibt statt linearer Interpolationsungleichungen; sie erfasst unimodale oder plateauartige Verhaltensweisen bei gleichzeitiger Erhaltung der Struktur globaler Minima.

Demonstration

Die stückweise Funktion f(x)=1 für x≤0 und f(x)=x+1 für x>0 auf R hat konvexe Unterniveaus (Intervalle) und ist quasikonvex, aber nicht konvex, weil sie die Jensen-Schranke an der Knickstelle 0 nicht erfüllt.

Fehlanwendung

Zu behaupten, Quasikonvexität bedeute, dass alle Werkzeuge der konvexen Optimierung anwendbar seien (z. B. Konvergenzgarantien für Subgradientenverfahren); quasikonvexe Probleme können nicht die gleichen Dualitäts- und Glattheitseigenschaften wie konvexe Probleme besitzen.

Konsequenz

Quasikonvexität stellt sicher, dass jeder lokale Minimierer auf einer konvexen Menge ein globaler Minimierer ist, und dass Level-Set-Methoden und bestimmte Bisektionsstrategien für globale Optimierung anwendbar bleiben.

Umkehrung

Konvexe Funktionen sind eine strenge Teilklasse: Konvexität erzwingt lineare Kombinationen (Jensen) und stärkere zweitordnungs Bedingungen; '≤ max' durch '≤ gewichteter Durchschnitt' zu ersetzen ergibt Konvexität.

Abgrenzung

Definiert auf konvexen Domänen und betrifft die Konvexität von Unterniveaus; impliziert nicht Differenzierbarkeit, strenge Konvexität oder alle konvexen Dualitätsergebnisse; ist nicht gleichbedeutend mit Quasikonkavität.

Semantische Spannung

Spannung entsteht zwischen Quasikonvexität und Konvexität in der Algorithmik: Einige Abstiegsgarantien bleiben, aber Raten, Dualformulierungen und Trennungssätze sind für quasikonvexe Funktionen schwächer oder fehlen.

Synthese

Eine quasikonvexe Funktion hat konvexe Unterniveaus: Sie verallgemeinert Konvexität, indem sie die Geometrie des globalen Minimums bewahrt und gleichzeitig punktweise nichtkonvexes Verhalten zulässt, das dennoch bestimmte globale Optimierungsstrategien erlaubt.