Una función f en un dominio convexo es cuasiconvexa si todos sus conjuntos de subnivel {x : f(x) ≤ alpha} son convexos para todo alpha; equivalentemente, f(tx + (1-t)y) ≤ max{f(x), f(y)} para t en [0,1].

Principio

Generaliza la convexidad conservando la convexidad de la geometría de los subniveles en lugar de desigualdades de interpolación lineal; captura comportamientos unimodales o en meseta manteniendo la estructura de mínimo global.

Demostración

La función por tramos f(x)=1 para x≤0 y f(x)=x+1 para x>0 en R tiene subniveles convexos (intervalos) y es cuasiconvexa pero no convexa porque no satisface la cota de Jensen en el punto de quiebre en 0.

Aplicación incorrecta

Suponer que la cuasiconvexidad implica que aplican todas las herramientas de optimización convexa (p. ej. garantías de descenso de subgradientes); los problemas cuasiconvexos pueden carecer de las mismas propiedades de dualidad y suavidad que los convexos.

Consecuencia

La cuasiconvexidad asegura que cualquier mínimo local sea global en un dominio convexo y que los métodos por niveles y ciertas estrategias de bisección sigan siendo válidos para la optimización global.

Inversión

Las funciones convexas son una subclase estricta: la convexidad impone desigualdades en combinaciones lineales (Jensen) y condiciones de segundo orden más fuertes; sustituir '≤ max' por '≤ media ponderada' da convexidad.

Límite

Definida en dominios convexos y relativa a la convexidad de los subniveles; no implica diferenciabilidad, convexidad estricta ni todo el conjunto de resultados de dualidad convexa; no equivale a cuasiconcavidad.

Tensión semántica

Existe tensión entre cuasiconvexidad y convexidad en el diseño de algoritmos: algunas garantías de descenso se mantienen, pero las tasas, formulaciones duales y teoremas de separación son más débiles o ausentes para funciones cuasiconvexas.

Síntesis

Una función cuasiconvexa es la que tiene subniveles convexos: generaliza la convexidad preservando la geometría del mínimo global mientras permite un comportamiento puntual no convexo que aún admite ciertas estrategias de optimización global.