Eine untere Schranke für die Varianz jedes unverzerrten Schätzers eines Parameters, gegeben durch das Inverse der Fisher-Information: Var(θ̂) ≥ 1 / I(θ).

Prinzip

Kein unverzerrter Schätzer kann eine Varianz kleiner als der Kehrwert der aus der Likelihood berechneten Fisher-Information haben; die Gleichheit gilt für effiziente Schätzer unter Regularitätsbedingungen.

Demonstration

Für i.i.d. Gaussian-Stichproben mit bekannter Varianz σ^2 und Mittelwert μ ergibt die Fisher-Information I(μ)=n/σ^2 die Schranke Var(μ̂)≥σ^2/n, und der Stichprobenmittelwert erreicht diese Schranke und ist effizient.

Fehlanwendung

Die Schranke auf verzerrte Schätzer anzuwenden oder auf Modelle, die Regularitätsbedingungen verletzen (z. B. nicht differenzierbare Likelihoods), oder sie in kleinen Stichproben als erreichbar zu interpretieren ohne Prüfung der Bedingungen.

Konsequenz

Bietet eine Referenz für Schätzungsleistung, lenkt Versuchsplanung durch Maximierung der Fisher-Information und identifiziert, wann ein Schätzer asymptotisch effizient ist.

Umkehrung

Bei Parametertransformationen oder wenn verzerrte Schätzer erlaubt sind, kann man geringere Varianz auf Kosten von Verzerrung erreichen; die Schranke beschränkt nur unverzerrte Schätzer in der gegebenen Parametrisierung.

Abgrenzung

Gilt unter Standard-Regularitätsannahmen (differenzierbare Likelihood, Vertauschbarkeit von Differentiation und Integration); gilt nicht direkt für verzerrte, beschränkte oder nichtparametrische Schätzer ohne Modifikation.

Semantische Spannung

Wird manchmal mit einer universellen unteren Schranke für alle Schätzer verwechselt; sie ist spezifisch für unverzerrte Schätzer des gewählten Parameters und modell- sowie parametrisierungsspezifisch.

Synthese

Die Cramér–Rao-Schranke setzt unter Regularitätsbedingungen ein modellabhängiges Minimum für die Varianz unverzerrter Schätzer durch die Fisher-Information und dient als Leistungsmaß und Gestaltungsleitsatz.