Una cota inferior sobre la varianza de cualquier estimador insesgado de un parámetro, dada por el inverso de la información de Fisher: Var(θ̂) ≥ 1 / I(θ).

Principio

Ningún estimador insesgado puede tener varianza menor que el recíproco de la información de Fisher calculada a partir de la verosimilitud del modelo; la igualdad se cumple para estimadores eficientes bajo condiciones de regularidad.

Demostración

Para muestras i.i.d. gaussianas con varianza conocida σ^2 y media μ, la información de Fisher I(μ)=n/σ^2 da Var(μ̂)≥σ^2/n, y la media muestral alcanza esta cota siendo eficiente.

Aplicación incorrecta

Aplicar la cota a estimadores sesgados, o a modelos que violan regularidad (p. ej. verosimilitudes no diferenciables), o interpretarla como alcanzable en muestras pequeñas sin comprobar las condiciones.

Consecuencia

Proporciona un punto de referencia para el rendimiento del estimador, guía el diseño experimental maximizando la información de Fisher e identifica cuándo un estimador es asintóticamente eficiente.

Inversión

Cuando se cambia la parametrización o se permiten estimadores sesgados, se puede lograr menor varianza a costa de sesgo; la cota solo restringe a estimadores insesgados en la parametrización dada.

Límite

Se cumple bajo supuestos estándar de regularidad (verosimilitud diferenciable, intercambio de diferenciación e integración); no se aplica directamente a estimadores sesgados, con restricciones o no paramétricos sin modificaciones.

Tensión semántica

A veces se confunde con una cota universal para todos los estimadores; es específica de estimadores insesgados para el parámetro elegido y depende del modelo y la parametrización.

Síntesis

La cota de Cramér–Rao fija un límite inferior dependiente del modelo sobre la varianza de estimadores insesgados mediante la información de Fisher, sirviendo de referencia de rendimiento y guía de diseño bajo regularidad.