Eine skalare Größe, die die Empfindlichkeit der Lösung eines linearen Problems gegenüber relativen Störungen in den Daten quantifiziert; für eine invertierbare Matrix A definiert man häufig cond(A)=||A||·||A^{-1}|| in einer gewählten Operatornorm.

Prinzip

Lokale lineare Sensitivität: Die Konditionszahl beschränkt die schlimmstmögliche Verstärkung relativer Eingabefehler zu relativen Lösungsfehlern bei linearen Störungen und gewählter Norm.

Demonstration

Für eine Diagonalmatrix mit Einträgen 1 und 10^{-6} in der 2-Norm ist die Konditionszahl 10^6, was anzeigt, dass relative Fehler in der rechten Seite bis zu sechs Zehnerpotenzen in der berechneten Lösung verstärkt werden können.

Fehlanwendung

Die globale Konditionszahl einer Matrix zur Vorhersage numerischer Fehler eines nichtlinearen Problems ohne lokale Linearisierung zu verwenden, oder anzunehmen, sie erfasse die algorithmische Stabilität unabhängig vom numerischen Solver.

Konsequenz

Eine große Konditionszahl signalisiert möglichen Verlust signifikanter Stellen und verstärkte Fehler; eine moderate Konditionszahl bedeutet relative Stabilität bei kleinen Störungen in Kombination mit einem numerisch stabilen Algorithmus.

Umkehrung

Betrachtet man Konditionierung versus Stabilität: Ein gut konditioniertes Problem kann von einem instabilen Algorithmus schlecht gelöst werden, während ein schlecht konditioniertes Problem handhabbar bleibt, wenn die propagierten Fehler kontrolliert und quantifiziert werden.

Abgrenzung

Definiert in Bezug auf eine Wahl der Operatornorm und nur sinnvoll für invertierbare lineare Operatoren; singuläre oder rangdefiziente Operatoren haben in diesem Sinne unendliche Konditionszahl.

Semantische Spannung

Verwechslung mit algorithmischer Stabilität ist üblich: Die Konditionszahl ist eine Eigenschaft des mathematischen Problems (Daten→Lösung), während Stabilität sich auf das numerische Verfahren zur Erzeugung einer Näherungslösung bezieht.

Synthese

Die Konditionszahl fasst die schlimmstmögliche relative Verstärkung von Eingangsperturbationen durch einen linearen Operator zusammen und zeigt an, wann Daten zusätzliche Genauigkeit oder Regularisierung benötigen, um verlässliche Lösungen zu erhalten.