Un scalaire qui quantifie la sensibilité de la solution d'un problème linéaire aux perturbations relatives des données ; pour une matrice inversible A on définit souvent cond(A)=||A||·||A^{-1}|| dans une norme d'opérateur choisie.

Principe

Sensibilité linéaire locale : le nombre de conditionnement borne l'amplification maximale des erreurs relatives en entrée vers des erreurs relatives en solution sous des perturbations linéaires et une norme choisie.

Démonstration

Pour une matrice diagonale aux éléments 1 et 10^{-6} dans la norme 2, le nombre de conditionnement vaut 10^6, ce qui indique que les erreurs relatives sur le second membre peuvent être amplifiées jusqu'à six ordres de grandeur dans la solution calculée.

Mauvaise application

Employer le nombre de conditionnement global d'une matrice pour prédire l'erreur numérique d'un problème non linéaire sans linéarisation locale, ou supposer qu'il capture la stabilité algorithmique indépendamment de la méthode numérique du solveur.

Conséquence

Un grand nombre de conditionnement signale une perte potentielle de chiffres significatifs et l'amplification des erreurs ; un nombre modéré implique une stabilité relative sous petites perturbations lorsqu'il est associé à un algorithme numériquement stable.

Inversion

Opposer conditionnement et stabilité : un problème bien conditionné peut être mal résolu par un algorithme instable, tandis qu'un problème mal conditionné peut être traité si l'on contrôle et quantifie les erreurs propagées.

Limite

Défini par rapport à un choix de norme opérateur et uniquement signifiant pour des opérateurs linéaires inversibles ; les opérateurs singuliers ou de rang déficient ont un nombre de conditionnement infini au sens de l'inversibilité linéaire.

Tension sémantique

Confusion fréquente avec la stabilité algorithmique : le nombre de conditionnement est une propriété du problème mathématique (application données→solution) tandis que la stabilité concerne la méthode numérique utilisée pour produire une solution approchée.

Synthèse

Le nombre de conditionnement condense l'amplification relative maximale des perturbations d'entrée par un opérateur linéaire, indiquant quand les données nécessitent une précision supplémentaire ou une régularisation pour obtenir des solutions fiables.