Definition
Die algebraische Vielfachheit eines Eigenwerts λ eines linearen Operators in einem endlichdimensionalen Vektorraum ist seine Vielfachheit als Nullstelle des charakteristischen Polynoms det(A − λI).
Prinzip
Prinzip
Sie zählt, wie oft ein Eigenwert algebraisch in der charakteristischen Gleichung vorkommt, und beschränkt die Größen der zugehörigen Jordanblöcke.
Demonstration
Demonstration
Für A = [[λ,1],[0,λ]] ist das charakteristische Polynom (λ − λ)^2, also hat λ algebraische Vielfachheit 2; die Matrix besitzt einen Jordanblock der Größe 2, sodass die algebraische Vielfachheit größer ist als die geometrische Vielfachheit (1).
Fehlanwendung
Fehlanwendung
Zu glauben, die algebraische Vielfachheit entspreche der Anzahl linear unabhängiger Eigenvektoren (geometrische Vielfachheit) in nichtdiagonalisierbaren Fällen; oder den Begriff unverändert auf Operatoren unendlicher Dimension anzuwenden ohne Spektraltheorie zu berücksichtigen.
Konsequenz
Konsequenz
Die Kenntnis der algebraischen Vielfachheiten bestimmt die Gesamtgröße der verallgemeinerten Eigenräume und legt zusammen mit den geometrischen Vielfachheiten die Jordan-Normalform und den Grad des Minimalpolynoms fest.
Umkehrung
Umkehrung
Die geometrische Vielfachheit ist die Dimension des Eigenraums ker(A − λI); sie ist stets ≤ algebraische Vielfachheit und gleich genau dann, wenn der Operator bei λ diagonalisierbar ist.
Abgrenzung
Abgrenzung
Die Definition setzt ein charakteristisches Polynom voraus: sie ist intrinsisch für endlichdimensionale Operatoren über Körpern, in denen das Polynom faktorisiert (oft algebraisch abgeschlossene Felder); bei kontinuierlichem Spektrum oder Operatoren in unendlichen Räumen wird der Begriff durch spektrale Vielfachheiten ersetzt.
Semantische Spannung
Semantische Spannung
Algebraische Vielfachheit versus spektrale/maßtheoretische Vielfachheit: algebraische Vielfachheit ist ein diskreter Wurzelzähler in der endlichen Dimension, wohingegen spektrale Vielfachheit in der Funktionalanalyse die Multiplikität invarianten Unterraums für Anteile des kontinuierlichen Spektrums beschreibt.
Synthese
Synthese
Die algebraische Vielfachheit misst, wie viele Faktoren (λ − λ0) das charakteristische Polynom enthält, bestimmt die Gesamtzahl verallgemeinerter Eigenvektoren und beschränkt die Jordanblockstruktur; sie steht in Beziehung zur, aber unterscheidet sich von der geometrischen Vielfachheit.