Definición
La multiplicidad algebraica de un valor propio λ de un operador lineal en un espacio vectorial de dimensión finita es su multiplicidad como raíz del polinomio característico det(A − λI).
Principio
Principio
Cuenta cuántas veces aparece un valor propio algebraicamente en la ecuación característica y restringe los tamaños de los bloques de Jordan asociados a ese valor propio.
Demostración
Demostración
Para A = [[λ,1],[0,λ]] el polinomio característico es (λ − λ)^2, por lo que λ tiene multiplicidad algebraica 2; la matriz tiene un único bloque de Jordan de tamaño 2, mostrando que la multiplicidad algebraica excede a la multiplicidad geométrica (1).
Aplicación incorrecta
Aplicación incorrecta
Suponer que la multiplicidad algebraica es igual al número de vectores propios linealmente independientes (multiplicidad geométrica) en casos no diagonalizables; o aplicar la noción sin cambios a operadores de dimensión infinita sin matizar con teoría espectral.
Consecuencia
Consecuencia
Conocer las multiplicidades algebraicas determina el tamaño total de los espacios de eigenvectores generalizados y, junto con las multiplicidades geométricas, fija la forma de Jordan y el grado del polinomio mínimo.
Inversión
Inversión
La multiplicidad geométrica es la dimensión del espacio propio ker(A − λI); siempre es ≤ multiplicidad algebraica y coincide con ella exactamente cuando el operador es diagonalizable en λ.
Límite
Límite
La definición requiere un polinomio característico: es intrínseca para operadores de dimensión finita sobre cuerpos donde el polinomio se factoriza (habitualmente cuerpos algebraicamente cerrados); para espectros continuos u operadores en espacios infinitos la noción se reemplaza por conceptos de multiplicidad espectral.
Tensión semántica
Tensión semántica
Multiplicidad algebraica frente a multiplicidad espectral/medida: la multiplicidad algebraica es un conteo discreto de raíces en dimensión finita, mientras que la multiplicidad espectral en análisis funcional describe la multiplicidad de subespacios invariantes asociados a componentes del espectro continuo.
Síntesis
Síntesis
La multiplicidad algebraica mide cuántos factores (λ − λ0) aparecen en el polinomio característico, determina el número total de vectores propios generalizados y restringe la estructura de bloques de Jordan; está relacionada pero es distinta de la multiplicidad geométrica.