Eine von null verschiedene Funktion φ im Definitionsbereich eines linearen Operators L (auf einem Funktionsraum) ist eine Eigenfunktion, wenn es ein Skalar λ gibt mit L φ = λ φ; λ ist der zugehörige Eigenwert.

Prinzip

Eigenfunktionen sind bis auf Skalierung unter L unveränderliche Modi; sie zeigen die zerlegbaren Richtungen des Operators im Funktionsraum auf.

Demonstration

Für den Laplace-Operator auf [0,π] mit Dirichlet-Randbedingungen gilt φ_n(x)=sin(n x) und Δφ_n = -n^2 φ_n, also ist jedes φ_n eine Eigenfunktion mit Eigenwert -n^2.

Fehlanwendung

Jedes vertraute Basiselement ohne Prüfung von Definitionsbereich oder Randbedingungen als Eigenfunktion bezeichnen; oder das Konzept unverändert auf nichtlineare Operatoren anwenden.

Konsequenz

Eigenfunktionen ermöglichen Modalanalysen, lösen lineare PDG durch Trennung der Variablen und identifizieren Resonanzfrequenzen oder stabile Modi eines Systems.

Umkehrung

Generalisierte Eigenfunktionen oder Lösungen des kontinuierlichen Spektrums ersetzen diskrete Eigenfunktionen in unendlichdimensionalen oder nicht-kompakten Problemen und erfordern distributionelle Begriffe.

Abgrenzung

Gilt für lineare Operatoren mit spezifiziertem Definitionsbereich und Randbedingungen; manche Operatoren haben keine quadratintegrierbaren Eigenfunktionen (reines kontinuierliches Spektrum).

Semantische Spannung

Eigenfunktion versus beliebige Basisfunktion: Eigenfunktionen diagonalisieren die Wirkung des Operators, während Basisfunktionen dies nicht tun müssen; eine Eigenfunktion ist gegenüber einem Eigenvektor lediglich die funktionswertige Entsprechung.

Synthese

Eine Eigenfunktion ist eine nichttriviale Funktion, die vom Operator um einen Skalar gestreckt wird und so invarianten modal-analytischen Komponenten für die lineare Analyse in Funktionsräumen liefert.