Una función no nula φ en el dominio de un operador lineal L (en un espacio de funciones) es una función propia si existe un escalar λ tal que L φ = λ φ; λ es el valor propio asociado.

Principio

Las funciones propias son modos invariantes por L salvo un factor escalar; revelan las direcciones descomponibles del operador en el espacio de funciones.

Demostración

Para el operador Laplaciano en [0,π] con condiciones de Dirichlet, φ_n(x)=sin(n x) satisface Δφ_n = -n^2 φ_n, de modo que cada φ_n es una función propia con valor propio -n^2.

Aplicación incorrecta

Llamar función propia a cualquier elemento de una base conocida sin comprobar que pertenece al dominio del operador o satisface las condiciones de contorno; o aplicar la noción sin cambios a operadores no lineales.

Consecuencia

Las funciones propias permiten expansiones modales, resolver EDP lineales por separación de variables e identificar frecuencias de resonancia o modos estables de un sistema.

Inversión

Funciones propias generalizadas o soluciones de espectro continuo reemplazan a funciones propias discretas en problemas de dimensión infinita o no compactos, requiriendo nociones distribucionales.

Límite

Se aplica a operadores lineales con dominio y condiciones de contorno especificadas; algunos operadores no tienen funciones propias cuadrado-integrables (espectro puramente continuo).

Tensión semántica

Función propia frente a función base arbitraria: la función propia diagonaliza la acción del operador mientras que una base arbitraria puede no hacerlo; la función propia difiere del autovector solo por ser un elemento funcional.

Síntesis

Una función propia es una función no trivial que el operador escala por un factor, proporcionando componentes modales invariantes para el análisis lineal en espacios de funciones.