Ein invariantes Wahrscheinlichkeitsmaß für ein maß-erhaltendes dynamisches System, das nicht als nichttriviale konvexe Kombination anderer invarianten Maße zerlegt werden kann; äquivalent dazu, dass Zeitmittel integrierbarer Observablen fast überall mit dem Raummittel (nach dem Maß) übereinstimmen.

Prinzip

Ergodische Maße sind die extremalen invarianten Zustände: Sie repräsentieren unteilbares langfristiges statistisches Verhalten und bilden die atomaren Bestandteile in der ergodischen Zerlegung beliebiger invarianten Maße.

Demonstration

Bei einer irrationalen Rotation auf dem Einheitskreis ist das Lebesgue-Maß ergodisch: Zeitmittel kontinuierlicher Funktionen entlang fast jeder Bahn gleichen ihrem Integral über den Kreis.

Fehlanwendung

Ein beliebiges invariantes Maß ohne Prüfung der Unzerlegbarkeit als ergodisch zu bezeichnen, oder Ergodizität so zu interpretieren, als impliziere sie schnelles Mischen oder Dekorrelation statt der Gleichheit von Zeit- und Raummitteln.

Konsequenz

Unter einem ergodischen Maß gilt der Birkhoffsche Ergoden-Satz: Fast jede Anfangsbedingung liefert dasselbe Zeitmittel für jede integrierbare Observable, wodurch statistische Vorhersagen aus einzelnen Bahnen möglich werden.

Umkehrung

Ein nicht-ergodisches invariantes Maß zerfällt in eine Mischung ergodischer Maße und zeigt für Mengen von Anfangsbedingungen unterschiedliche Zeitmittel; statistische Eigenschaften hängen dann vom gewählten Bestandteil ab.

Abgrenzung

Definiert für maß-erhaltende Transformationen auf Wahrscheinlichkeitsräumen; schließt transiente, nicht maß-erhaltende Dynamiken aus sowie Aussagen über Konvergenzraten oder funktionelles Mischen, die stärkere Eigenschaften erfordern.

Semantische Spannung

Wird häufig mit Mischen oder mit eindeutiger Ergodenheit verwechselt; Mischen ist eine stärkere Eigenschaft der Dekorrelation, während eindeutige Ergodenheit ein einzigartiges invariantes Maß verlangt.

Synthese

Ein ergodisches Maß ist ein unzerlegbares invariantes Wahrscheinlichkeitsgesetz, unter dem zeitliche Mittel entlang fast jeder Trajektorie mit Ensemblemitteln übereinstimmen und das die extremalen Bausteine invarianten statistischen Verhaltens bildet.