Une mesure de probabilité invariante pour un système dynamique préservant la mesure qui ne se décompose pas en une combinaison convexe non triviale d'autres mesures invariantes ; équivalemment, pour laquelle les moyennes temporelles des observables intégrables coïncident presque sûrement avec les moyennes spatiales (par rapport à la mesure).

Principe

Les mesures ergodiques sont les états invariants extrémaux : elles représentent un comportement statistique asymptotique indécomposable et constituent les éléments atomiques de la décomposition ergodique de toute mesure invariante.

Démonstration

Pour une rotation irrationnelle du cercle unité, la mesure de Lebesgue est ergodique : les moyennes temporelles des fonctions continues le long de presque toutes les orbites coïncident avec leur intégrale sur le cercle.

Mauvaise application

Qualifier de manière abusive toute mesure invariante d'ergodique sans vérifier l'indécomposabilité, ou interpréter l'ergodicité comme impliquant un mélange rapide ou une décohérence plutôt que l'égalité des moyennes temporelles et spatiales.

Conséquence

Sous une mesure ergodique, le théorème ergodique de Birkhoff s'applique : presque toute condition initiale donne la même moyenne temporelle pour chaque observable intégrable, permettant des prédictions statistiques à partir d'une seule orbite.

Inversion

Une mesure invariante non ergodique se décompose en un mélange de mesures ergodiques et présente des moyennes temporelles différentes selon l'ensemble des conditions initiales ; les propriétés statistiques dépendent alors du composant choisi.

Limite

Définie pour des transformations préservant la mesure sur des espaces de probabilité ; exclut les dynamiques transitoires, non préservant la mesure, et les affirmations sur des vitesses de convergence ou le mélange fonctionnel qui exigent des propriétés plus fortes.

Tension sémantique

Souvent confondue avec le mélange (mixing) ou avec l'unique ergodicité ; le mélange est une propriété de décohérence plus forte tandis que l'unique ergodicité exige une seule mesure invariante pour toutes les distributions initiales.

Synthèse

Une mesure ergodique est une loi de probabilité invariante indécomposable selon laquelle les moyennes temporelles le long de presque toutes les trajectoires égalent les moyennes d'ensemble, constituant les constituants extrémaux des statistiques invariantes.