Für einen linearen Operator oder eine Matrix und einen gegebenen Eigenwert λ ist die geometrische Vielfachheit die Dimension des Eigenraums ker(A−λI), also die Anzahl linear unabhängiger Eigenvektoren zu λ.

Prinzip

Die geometrische Vielfachheit zählt unabhängige Eigenvektoren und ist nach oben durch die algebraische Vielfachheit beschränkt; ihr Wert steuert Diagonalisierbarkeit und die Größe der Jordanblöcke in kanonischen Formen.

Demonstration

Für die 2×2-Jordanblockmatrix [[λ,1],[0,λ]] hat der Eigenraum Dimension eins, daher ist die geometrische Vielfachheit von λ gleich 1, während die algebraische Vielfachheit 2 ist, was Diagonalisierung verhindert.

Fehlanwendung

Anzunehmen, algebraische und geometrische Vielfachheit stimmten stets überein: das führt zu falschen Behauptungen über Diagonalisierbarkeit; viele Matrizen besitzen weniger unabhängige Eigenvektoren als die algebraische Vielfachheit suggeriert.

Konsequenz

Korrekte Bestimmung entscheidet darüber, ob ein Operator diagonalisierbar ist (die Summe der geometrischen Vielfachheiten ergibt die Raumdimension) und informiert über die Struktur verallgemeinerter Eigenräume und Lösungen linearer Systeme.

Umkehrung

Algebraische Vielfachheit (die Vielfachheit von λ als Nullstelle des charakteristischen Polynoms) misst eine polynomielle Ordnung statt unabhängiger Eigenvektoren und kann die geometrische Vielfachheit übersteigen.

Abgrenzung

Die Definition ist in endlichdimensionalen Räumen unmittelbar; in unendlichdimensionalen Zusammenhängen ist die Dimension des Eigenraums weiterhin definierbar, doch erfordern algebraische Vielfachheit und Jordan-Struktur verallgemeinerte Begriffe (z. B. ascent, descent, Wurzelräume).

Semantische Spannung

Geometrische Vielfachheit versus Rang/Defekt: die geometrische Vielfachheit ist die Nullität von A−λI und steht im Zusammenhang mit dem Rangsatz, unterscheidet sich aber begrifflich von der algebraischen Vielfachheit, die spektrale Polynomdaten liefert.

Synthese

Die geometrische Vielfachheit ist die Anzahl unabhängiger Eigenvektoren zu einem Eigenwert: die Dimension des Kerns von A−λI, die Diagonalisierbarkeit bestimmt und die minimale Blockstruktur des Operators vorgibt.