Pour un opérateur linéaire ou une matrice et une valeur propre λ donnée, la multiplicité géométrique est la dimension de l'espace propre ker(A−λI), c'est‑à‑dire le nombre d'autovecteurs linéairement indépendants associés à λ.

Principe

La multiplicité géométrique compte les autovecteurs indépendants et est majorée par la multiplicité algébrique ; sa valeur détermine la diagonalisation et la taille des blocs de Jordan dans les formes canoniques.

Démonstration

Pour la matrice bloc de Jordan 2×2 [[λ,1],[0,λ]] l'espace propre a dimension un, donc la multiplicité géométrique de λ est 1 alors que sa multiplicité algébrique est 2, empêchant la diagonalisation.

Mauvaise application

Supposer que multiplicités algébrique et géométrique coïncident toujours : cela conduit à des affirmations erronées de diagonalisation ; de nombreuses matrices disposent de moins d'autovecteurs indépendants que ne le suggère la multiplicité algébrique.

Conséquence

Une utilisation correcte détermine si un opérateur est diagonalisable (les multiplicités géométriques sommées donnent la dimension de l'espace) et informe la structure des espaces propres généralisés et des solutions de systèmes linéaires.

Inversion

La multiplicité algébrique (la multiplicité de λ comme racine du polynôme caractéristique) mesure un ordre polynomial plutôt que des autovecteurs indépendants et peut être supérieure à la multiplicité géométrique.

Limite

La définition est directe pour les opérateurs de dimension finie ; en dimension infinie la dimension de l'espace propre reste définissable mais les notions de multiplicité algébrique et de structure de Jordan exigent des généralisations (p. ex. hauteur, profondeur, espaces radiciels).

Tension sémantique

Multiplicité géométrique versus rang/défaut : la multiplicité géométrique est la nullité de A−λI et s'articule avec le théorème du rang-nullité, mais diffère conceptuellement de la multiplicité algébrique qui est une donnée polynomiale spectrale.

Synthèse

La multiplicité géométrique est le nombre d'autovecteurs indépendants associés à une valeur propre : la dimension du noyau de A−λI qui détermine la diagonalisation et la structure minimale en blocs pour représenter l'opérateur.