Für eine hermitesche (oder symmetrische) Matrix A und einen von Null verschiedenen Vektor x ist der Rayleigh-Quotient R(x) = (x* A x)/(x* x), ein Skalar, der den Wert der quadratischen Form pro Einheitsquadratnorm von x angibt; bei komplexen Vektoren steht x* für die konjugiert-transponierte.

Prinzip

Die quadratische Form von A durch die Vektornorm normalisieren, sodass die richtungsabhängige Wirkung der bilinearen Form als Skalar ausgedrückt wird; Extremwerte von R auf Unterräumen charakterisieren Eigenwerte.

Demonstration

Ist A eine 2×2 symmetrische Matrix und v ein Eigenvektor mit Eigenwert λ, dann gilt R(v)=λ; allgemein liefert die Optimierung von R(x) über alle nichtverschwindenden x die größten bzw. kleinsten Eigenwerte bei symmetrischem A.

Fehlanwendung

Den Rayleigh-Quotienten bei nicht-hermiteschen Matrizen anwenden und reale Extremwerte erwarten, oder R(x)-Werte ohne passende Normalisierung und Kontext als Wahrscheinlichkeiten oder Distanzen deuten.

Konsequenz

Bietet variationelle Schranken und Approximationen für Eigenwerte, bildet die Grundlage iterativer Eigenwert-Algorithmen und Preconditioning-Strategien und verknüpft quadratische Energiegrößen mit spektraler Information.

Umkehrung

Die unnormierte quadratische Form x* A x betont die absolute Energieskala, mischt aber Skala und Richtung; der Rayleigh-Quotient isoliert die Richtungsabhängigkeit durch Teilung durch die Norm zum Quadrat.

Abgrenzung

Definiert für von Null verschiedene Vektoren; liefert nur für hermitesche A reelle Werte (oder bei geeigneter Beschränkung von x); für indefinites A kann der Quotient Werte sowohl im positiven als auch im negativen Bereich annehmen.

Semantische Spannung

Rayleigh-Quotient versus verallgemeinerter Rayleigh-Quotient: Letzterer verwendet ein Paar von Matrizen und das Verhältnis (x* A x)/(x* B x) zur Behandlung verallgemeinerter Eigenwertprobleme und ändert Normalisierung und variationelle Eigenschaften.

Synthese

Eine normalisierte skalare Messgröße einer quadratischen Form in einer Richtung, die die richtungsabhängige «Energie pro Norm» erfasst und deren Extremwerte spektrale Größen für symmetrische oder hermitesche Operatoren wiedergeben.