Pour une matrice Hermitienne (ou symétrique) A et un vecteur non nul x, le quotient de Rayleigh R(x) vaut (x* A x)/(x* x), un scalaire donnant la valeur de la forme quadratique par unité du carré de la norme de x ; pour des vecteurs complexes x* désigne la transposée conjuguée.

Principe

Normaliser la forme quadratique associée à A par la norme du vecteur afin que la dépendance directionnelle de la forme bilinéaire s'exprime par un scalaire ; les valeurs extrémales de R sur des sous-espaces caractérisent les valeurs propres.

Démonstration

Si A est une matrice symétrique 2×2 et v est un vecteur propre de valeur propre λ, alors R(v)=λ ; de façon générale, l'optimisation de R(x) sur tous les x non nuls donne les plus grandes et plus petites valeurs propres pour A symétrique.

Mauvaise application

Utiliser le quotient de Rayleigh sans exiger qu'A soit Hermitienne en s'attendant à des valeurs extrémales réelles, ou interpréter les valeurs R(x) comme des probabilités ou des distances sans normalisation et contexte appropriés.

Conséquence

Fournit des bornes variationnelles et des approximations des valeurs propres, soutient les algorithmes itératifs de calcul de valeurs propres et les stratégies de préconditionnement, et relie des mesures d'énergie quadratique à l'information spectrale.

Inversion

Utiliser la forme quadratique non normalisée x* A x met l'accent sur l'échelle absolue d'énergie mais mêle échelle et direction ; le quotient de Rayleigh isole la dépendance directionnelle en divisant par la norme au carré.

Limite

Défini pour des vecteurs non nuls ; ne fournit des valeurs réelles que lorsque A est Hermitienne (ou quand x est restreint de façon appropriée) ; pour A indéfini le quotient peut prendre des valeurs positives et négatives.

Tension sémantique

Quotient de Rayleigh versus quotient de Rayleigh généralisé : ce dernier utilise une paire de matrices et le rapport (x* A x)/(x* B x) pour traiter des problèmes aux valeurs propres généralisés, modifiant la normalisation et les propriétés variationnelles.

Synthèse

Mesure scalaire normalisée d'une forme quadratique suivant une direction qui capture l'« énergie par unité de norme » directionnelle et dont les valeurs extrêmes restituent les quantités spectrales pour des opérateurs symétriques ou Hermitiens.