Für eine Matrix A und einen Vektor b ist der m-te Krylov-Unterraum span{b, A b, A^2 b, ..., A^{m-1} b}. Er ist der kleinste A-erreichbare Unterraum, der durch polynomielle Wirkung von A auf b bis Grad m−1 entsteht.

Prinzip

Krylov‑Unterräume erfassen die Wirkung von Polynomen in A auf einen Anfangsvektor und liefern sukzessive reichere Approximationsräume für lineare Lösungen, Eigenprobleme und Matrix‑Funktionen.

Demonstration

Konjugierte-Gradient arbeitet in Krylov‑Unterräumen für symmetrisch positivdefinites A und erzeugt Iterierten in K_m(A,b) mit kurzen Drei‑Term‑Rekurrenzen; Arnoldi baut eine orthonormale Basis von K_m für allgemeines A zur Eigenwertapproximation auf.

Fehlanwendung

Von schneller Konvergenz für beliebiges A auszugehen oder Reorthogonalisierung zu vernachlässigen: Krylov‑Methoden können bei nicht‑normalen Matrizen stagnieren und Orthogonalität verlieren, was zu unzuverlässigen Ritz‑Werten führt.

Konsequenz

Ermöglicht skalierbare iterative Löser und reduzierte Approximationen, deren Kosten mit der Unterraumdimension statt der Matrizenmasse wachsen; liefert oft superlineare Konvergenz bei passenden spektralen Eigenschaften.

Umkehrung

Im Gegensatz zu einem invarianten Unterraum, der exakte Eigenvektoren enthält, wird ein Krylov‑Unterraum aus einem einzigen Vektor erzeugt und approximiert invariant Unterräume schrittweise; die Umkehrung würde exakte Invarianz von Anfang an verlangen.

Abgrenzung

Definiert für lineare Operatoren in endlichen oder unendlichen Dimensionen, praktisch aber durch Speicher und numerische Stabilität begrenzt; bei defekten oder stark nicht‑normalen A kann die Approximation schlecht sein, sofern nicht augmentiert oder neu gestartet wird.

Semantische Spannung

Spannung zum Begriff des vollständigen invarianten Unterraums: Krylov‑Räume sind generativ und recheneffizient aus einem Seeds‑Vektor, während invariante Unterräume algebraisch unter A abgeschlossen sind und anders konstruiert werden müssen.

Synthese

Der Krylov‑Unterraum ist die polynomiale Hülle der aufeinanderfolgenden Potenzen von A angewendeten Anfangsvektoren und bildet die rechnerische Grundlage vieler iterativer Verfahren der numerischen Linearen Algebra.